Esercizio di algebra
Potreste spiegarmi come risolvere questo esercizio?
sia T l'applicazione da R3 in R4
T(x1,x2,x3)= (2x1+2x2+x3 , x1+x3 ,x2-2x3 , x1+x3)
indicare
-matrice associata a T
-Ker T
-equazioni parametriche di ImT, base e dim ImT
-T e' iniettiva e suriettiva
-un vettore di R4 non appartenente ad ImT
Ringrazio tutti quelli che vorranno-potranno aiutarmi
Ciao ANNA
sia T l'applicazione da R3 in R4
T(x1,x2,x3)= (2x1+2x2+x3 , x1+x3 ,x2-2x3 , x1+x3)
indicare
-matrice associata a T
-Ker T
-equazioni parametriche di ImT, base e dim ImT
-T e' iniettiva e suriettiva
-un vettore di R4 non appartenente ad ImT
Ringrazio tutti quelli che vorranno-potranno aiutarmi
Ciao ANNA
Risposte
e dov'è l'algebra??
E' pur sempre algebra anche se lineare ! 
Ma si sa ormai che non hai occhi che per l'ALGEBRA |
Ma si sa ormai che non hai occhi che per l'ALGEBRA |
hai ragione, camillo...
il fatto è che quando ho visto due nuovi post con esercizi di algebra
ero piuttosto contento... poi li ho aperti e ci sono rimasto male...
(scusami Anna)
il fatto è che quando ho visto due nuovi post con esercizi di algebra
ero piuttosto contento... poi li ho aperti e ci sono rimasto male...
(scusami Anna)
Uber vuole esercizi di algebra astratta ma Anna vorrebbe qualche
risposta ai suoi dubbi e quindi ci provo io.
1)Supponendo che la matrice associata richiesta sia quella rispetto
alle basi canoniche di R3 ed R4 ,essa non e' nient'altro che quella
le cui righe sono i coefficienti di T:
matrice_associata=$((2,2,1),(1,0,1),(0,1,-2),(1,0,1))$
Tale matrice ha rango 3 (basta calcolare il det del minore contenuto
nelle prime 3 righe) e del resto la seconda e la quarta equazione coincidono.
2)Il ker e' il sottoinsieme di R3 i cui elementi hanno per immagine il
vettore nullo (0,0,0,0) di R4 e pertanto deve essere:
(per comodita' di scrittura uso x,y,z,t come variabili)
$2x+2y+z=0,x+z=0,y-2z=0,x+z=0$
La quarta equazione e' superflua in quanto coincide con la seconda
ed il sistema formato dalle prime 3 equazioni ,avendo la matrice dei coefficienti
di rango 3,ha la sola soluzione banale (0,0,0) e quindi il ker si riduce al
vettore nullo di R3.Cio' permette di dire che T e' uniettiva.Sulla suriettivita' vedi punto 4.
3) Una base di ImT e' data,com'e' noto,dai vettori colonna della matrice associata
e quindi essa e':
{(2,1,0,1),(2,0,1,0),(1,1,-2,1)} che sono indipendenti tra loro (rango=3).
Pertanto ImT ha dimensione 3 e le sue equazioni parametriche sono quelle di T
quando al posto di x,y,z si sostituiscono 3 parametri arbitrari $lambda_1,lambda_2,lambda_3$.
4) siccome la seconda e la quarta equazione di T sono uguali, per avere un
vettore di R4 che non appartiene ad Im e' sufficiente prendere un vettore di R4
che abbia la seconda componente diversa dalla quarta per ottenere un vettore
di R4 che non sta in ImT.Con cio' resta provata la non surgettivita' di T(salvo errori).
karl
risposta ai suoi dubbi e quindi ci provo io.
1)Supponendo che la matrice associata richiesta sia quella rispetto
alle basi canoniche di R3 ed R4 ,essa non e' nient'altro che quella
le cui righe sono i coefficienti di T:
matrice_associata=$((2,2,1),(1,0,1),(0,1,-2),(1,0,1))$
Tale matrice ha rango 3 (basta calcolare il det del minore contenuto
nelle prime 3 righe) e del resto la seconda e la quarta equazione coincidono.
2)Il ker e' il sottoinsieme di R3 i cui elementi hanno per immagine il
vettore nullo (0,0,0,0) di R4 e pertanto deve essere:
(per comodita' di scrittura uso x,y,z,t come variabili)
$2x+2y+z=0,x+z=0,y-2z=0,x+z=0$
La quarta equazione e' superflua in quanto coincide con la seconda
ed il sistema formato dalle prime 3 equazioni ,avendo la matrice dei coefficienti
di rango 3,ha la sola soluzione banale (0,0,0) e quindi il ker si riduce al
vettore nullo di R3.Cio' permette di dire che T e' uniettiva.Sulla suriettivita' vedi punto 4.
3) Una base di ImT e' data,com'e' noto,dai vettori colonna della matrice associata
e quindi essa e':
{(2,1,0,1),(2,0,1,0),(1,1,-2,1)} che sono indipendenti tra loro (rango=3).
Pertanto ImT ha dimensione 3 e le sue equazioni parametriche sono quelle di T
quando al posto di x,y,z si sostituiscono 3 parametri arbitrari $lambda_1,lambda_2,lambda_3$.
4) siccome la seconda e la quarta equazione di T sono uguali, per avere un
vettore di R4 che non appartiene ad Im e' sufficiente prendere un vettore di R4
che abbia la seconda componente diversa dalla quarta per ottenere un vettore
di R4 che non sta in ImT.Con cio' resta provata la non surgettivita' di T(salvo errori).
karl
credo ci sia un errore di scrittura, ma che potrebbe
essere male interpretato da Anna: nel punto 2 dici che
$f$ descrive un isomorfismo fra $R^3$ e $R^4$ e poi
nel punto 4) mostri che $f$ non è surjettiva...
essendo evidente che $R^3$ e $R^4$ non possono essere
isomorfi come spazi vettoriali credo che hai dimenticato
un "non" davanti a "isomorfi" nel punto 2), oppure pensavi
ad una immersione e hai scritto isomorfismo..
Ciao
essere male interpretato da Anna: nel punto 2 dici che
$f$ descrive un isomorfismo fra $R^3$ e $R^4$ e poi
nel punto 4) mostri che $f$ non è surjettiva...
essendo evidente che $R^3$ e $R^4$ non possono essere
isomorfi come spazi vettoriali credo che hai dimenticato
un "non" davanti a "isomorfi" nel punto 2), oppure pensavi
ad una immersione e hai scritto isomorfismo..
Ciao
@Uber
Hai ragione.E a dire che la risposta l'ho scritta e cancellata almeno 2
volte!.Comunque ho corretto :grazie.
karl
Hai ragione.E a dire che la risposta l'ho scritta e cancellata almeno 2
volte!.Comunque ho corretto :grazie.
karl
grazie per le risposte
ora ragionero' in base alle vostre segnalazioni e vedro' se il testo e' giusto
di nuovo grazie
ciao ANNA
ora ragionero' in base alle vostre segnalazioni e vedro' se il testo e' giusto
di nuovo grazie
ciao ANNA
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