Esercizio determinazione basi (grassmann)
Salve ragazzi sto svolgendo un esercizio e volevo in alcuni punti delle conferme, in altri dei chiarimenti.
iv)Dati i sottospazi $H = f[(x; y; z) in R^3 : 2x - y = 0] e S = L[(1; 2; 2); (3;-1; 1); (-1; 5; 3)].$ Determinare una base per S$nn$H e S + H
allora dalla relazione di grassmann so che dimH+dimS=dim(S+H)+dim(S$nn$H)
quindi trovo una base per H = [(1,2,0);(0,0,1)] e base per S=[(1,2,2);(0-7,-5)]. Ora mi serve la base di S$nn$H cosi riesco a determinare anche S+H... Se non ricordo male devo mettere i vettori in una matrice e trovare il minore fondamentale. poi al minore aggiungere la riga x,y,z e sviluppare il determinante... sono giusti i passaggi?
iv)Dati i sottospazi $H = f[(x; y; z) in R^3 : 2x - y = 0] e S = L[(1; 2; 2); (3;-1; 1); (-1; 5; 3)].$ Determinare una base per S$nn$H e S + H
allora dalla relazione di grassmann so che dimH+dimS=dim(S+H)+dim(S$nn$H)
quindi trovo una base per H = [(1,2,0);(0,0,1)] e base per S=[(1,2,2);(0-7,-5)]. Ora mi serve la base di S$nn$H cosi riesco a determinare anche S+H... Se non ricordo male devo mettere i vettori in una matrice e trovare il minore fondamentale. poi al minore aggiungere la riga x,y,z e sviluppare il determinante... sono giusti i passaggi?
Risposte
Una base di $H$ è ${(1,2,0),(0,0,1)}$.
Una base di $S$ è ${(1,2,2),(3,-1,1)}$.
Per determinare una base di $S+T$, metti i vettori precedenti in riga costruendo una matrice $4X3$ e determina rango e base.
Poi per determinare la base e la dimensione di $SnnT$ si possono applicare almeno un paio di procedimenti. Vediamo in seguito.
Una base di $S$ è ${(1,2,2),(3,-1,1)}$.
Per determinare una base di $S+T$, metti i vettori precedenti in riga costruendo una matrice $4X3$ e determina rango e base.
Poi per determinare la base e la dimensione di $SnnT$ si possono applicare almeno un paio di procedimenti. Vediamo in seguito.
grazie mille della risposta cmq i miei dubbi riguardano proprio determinare la base di S$nn$H xro grazie mille comunque mi hai rassicurato sulla prima parte 
aspettero futuri chiarimenti
aspettero futuri chiarimenti
1° metodo
Trovi la rappresentazione cartesiana di $H$ (già la possiedi).
Trovi la rappresentazione cartesiana di $S$.
Metti a sistema le due equazioni e trovi base e dimensione.
2° metodo
Devi determinare i vettori che stanno in $HnnS$, in sostanza devi determinare delle coppie $(\alpha_1,\beta_1)$ e $(\alpha_2,\beta_2)$ che verificano la seguente relazione:
$\alpha_1(1,2,0)+beta_1(0,0,1)=\alpha_2(1,2,2)+beta_2(3,-1,1)$
Sviluppando i calcolo e uguagliando le componenti corrispondenti ottieni un sistema di $3$ equazioni in $4$ variabili $(\alpha_1,\beta_1,\alpha_2,\beta_2)$.
Le soluzioni di tale sistema ti forniscono il sottospazio vettoriale $HnnS$.
Viene fuori un sottospazio vettoriale di dimensione $1$.
Trovi la rappresentazione cartesiana di $H$ (già la possiedi).
Trovi la rappresentazione cartesiana di $S$.
Metti a sistema le due equazioni e trovi base e dimensione.
2° metodo
Devi determinare i vettori che stanno in $HnnS$, in sostanza devi determinare delle coppie $(\alpha_1,\beta_1)$ e $(\alpha_2,\beta_2)$ che verificano la seguente relazione:
$\alpha_1(1,2,0)+beta_1(0,0,1)=\alpha_2(1,2,2)+beta_2(3,-1,1)$
Sviluppando i calcolo e uguagliando le componenti corrispondenti ottieni un sistema di $3$ equazioni in $4$ variabili $(\alpha_1,\beta_1,\alpha_2,\beta_2)$.
Le soluzioni di tale sistema ti forniscono il sottospazio vettoriale $HnnS$.
Viene fuori un sottospazio vettoriale di dimensione $1$.
grazie mille il tuo aiuto e stato preziosissimo grazie ancora
grazie ancora
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