Esercizio d'Esame di algebra lineare
Buona sera a tutti vi propongo questo esercizio tratto da un recente esame del mio professore:
Consideriamo l’applicazione lineare $L_{A_{t}} : R^4 → R^4$ definita da
$A_t$ = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & t & t & t\\
t & 2(t-1) & 2 & 2 \\
1 & 1 / t-1 & 1
\end{bmatrix}
(a) (3 p.) Sia $W_t = Im(L_{A_t} )$. Determinare la dimensione di $W_t$ al variare di $t \in R$.
(b) (3 p.) Per quei $t \in R$ tali che $dim W_t < 4$ determinare equazioni cartesiane di un supplementare di $W_t$ (e cio`e di un sottospazio $U_t$ tale che $W_t ⊕ U_t = R4$).
(c) (3 p.) Per quei $t \in R$ tali che $dim W_t < 4$ determinare una base per $Ker(L_{A_t} )$
Io ed un mio amico crediamo di averlo risolto bene, abbiamo determinato che per $t$ diverso da $2$ la matrice ha rango 4 e quindi l'unico caso interessante è $t=2$ per il quale $rg(A_2)=1$ e così abbiamo determinato $Im(A_2)=Span{(1,2,2,1)^T}$. Abbiamo determinato che il complementare deve avere dimensione $3$ e determinato una sua base completando la base dell'immagine ad una base di $R^4$, trovando che ${e_1,e_2,e_3}$ è una base di $U_2$, dove gli elementi sono gli elementi della base canonica, e poi determinato una base per il nucleo. Siamo d'accordo su tutto meno che sull'equazione cartesiana che descrive $U_2$. Io ho proceduto in modo classico e quindi riducendo la matrice data dalla base di $U_2$ e il vettore $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T$ e trovato che l'unica equazione immediata è $x_4=0$. Il mio amico sostiene però che questa non sia corretta (ma non capisco il perché). Potreste fugare questo mio dubbio?
Consideriamo l’applicazione lineare $L_{A_{t}} : R^4 → R^4$ definita da
$A_t$ = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & t & t & t\\
t & 2(t-1) & 2 & 2 \\
1 & 1 / t-1 & 1
\end{bmatrix}
(a) (3 p.) Sia $W_t = Im(L_{A_t} )$. Determinare la dimensione di $W_t$ al variare di $t \in R$.
(b) (3 p.) Per quei $t \in R$ tali che $dim W_t < 4$ determinare equazioni cartesiane di un supplementare di $W_t$ (e cio`e di un sottospazio $U_t$ tale che $W_t ⊕ U_t = R4$).
(c) (3 p.) Per quei $t \in R$ tali che $dim W_t < 4$ determinare una base per $Ker(L_{A_t} )$
Io ed un mio amico crediamo di averlo risolto bene, abbiamo determinato che per $t$ diverso da $2$ la matrice ha rango 4 e quindi l'unico caso interessante è $t=2$ per il quale $rg(A_2)=1$ e così abbiamo determinato $Im(A_2)=Span{(1,2,2,1)^T}$. Abbiamo determinato che il complementare deve avere dimensione $3$ e determinato una sua base completando la base dell'immagine ad una base di $R^4$, trovando che ${e_1,e_2,e_3}$ è una base di $U_2$, dove gli elementi sono gli elementi della base canonica, e poi determinato una base per il nucleo. Siamo d'accordo su tutto meno che sull'equazione cartesiana che descrive $U_2$. Io ho proceduto in modo classico e quindi riducendo la matrice data dalla base di $U_2$ e il vettore $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T$ e trovato che l'unica equazione immediata è $x_4=0$. Il mio amico sostiene però che questa non sia corretta (ma non capisco il perché). Potreste fugare questo mio dubbio?
Risposte
Nella matrice manca l'elemento di posizione \((4,4)\)!, e l'elemento di posizione \((4,2)\) è \(\displaystyle\frac{1}{t}-1\) oppure \(\displaystyle\frac{1}{t-1}\)?
scusa era la prima volta che provavo a scrivere una matrice in \(\displaystyle\LaTeX \), la ripropongo
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & t & t & t \\
t & 2(t-1) & 2 & 2 \\
1 & 1 & t-1 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & t & t & t \\
t & 2(t-1) & 2 & 2 \\
1 & 1 & t-1 & 1 \\
\end{bmatrix}
Usando opportunamente le mosse di Gauss e l'invarianza del determinante rispetto ad esse, si trova che \(\displaystyle A_t\) ha determinante \(\displaystyle2(t-2)^3\); dunque \(\displaystyle A_t\) ha rango \(\displaystyle4\) per \(\displaystyle t\neq2\) e rango \(\displaystyle1\) per \(\displaystyle t=2\).
Fissato \(\displaystyle t=2\), l'immagine \(\displaystyle W_2\) di \(\displaystyle L_{A_2}\) è generata dai vettori colonna ovvero da \(\displaystyle(1,2,2,1)\).
Per ciò, un sottospazio di \(\displaystyle\mathbb{R}^4\) complementare di \(\displaystyle W_2\) è \(\displaystyle U_2=\left\langle e_1,e_2,e_3\right\rangle\), una cui rappresentazione cartesiana è \(\displaystyle x_4=0\). Infatti, \(\displaystyle U_2=\left\{\left(x_1,x_2,x_3,0\right)\in\mathbb{R}^4\mid x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\right\}\).
Infine, \(\displaystyle\ker\left(L_{A_2}\right)=\left\{\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\in\mathbb{R}^4\mid x_1+2x_2+2x_3+x_4=0\right\}\); in conseguenza a Rouché-Capelli questi ha dimensione \(\displaystyle3\), e una sua base è \(\displaystyle\left\{e_1-e_4,e_2-e_3,2e_1-e_2\right\}\).
Ho omesso tutti i calcoli...
Fissato \(\displaystyle t=2\), l'immagine \(\displaystyle W_2\) di \(\displaystyle L_{A_2}\) è generata dai vettori colonna ovvero da \(\displaystyle(1,2,2,1)\).
Per ciò, un sottospazio di \(\displaystyle\mathbb{R}^4\) complementare di \(\displaystyle W_2\) è \(\displaystyle U_2=\left\langle e_1,e_2,e_3\right\rangle\), una cui rappresentazione cartesiana è \(\displaystyle x_4=0\). Infatti, \(\displaystyle U_2=\left\{\left(x_1,x_2,x_3,0\right)\in\mathbb{R}^4\mid x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\right\}\).
Infine, \(\displaystyle\ker\left(L_{A_2}\right)=\left\{\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\in\mathbb{R}^4\mid x_1+2x_2+2x_3+x_4=0\right\}\); in conseguenza a Rouché-Capelli questi ha dimensione \(\displaystyle3\), e una sua base è \(\displaystyle\left\{e_1-e_4,e_2-e_3,2e_1-e_2\right\}\).
Ho omesso tutti i calcoli...
ottimo grazie mille, avevo risolto bene l'esercizio allora
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