Esercizio dell'esame

[alex0031]

\(\displaystyle Y= \)$((1),(-1),(2),(-2),(3),(-3))$ appartenente a \(\displaystyle R(6) \), \(\displaystyle f \) appartenente a \(\displaystyle End(R(6)) \) tale che \(\displaystyle f(X)=X - Y \)
Descrivere \(\displaystyle Ker \) di f e \(\displaystyle Im \) di f determinandone la dimensione e una base.
Determinare inoltre \(\displaystyle Trf \) e l'operatore trasposto di f rispetto al prodotto scalare standard su \(\displaystyle R^6 \).

= 1+1+4+4+9+9= 28, posto \(\displaystyle X= \)$((x),(y),(z),(t),(u),(v))$, \(\displaystyle X= \) $((28x),(28y),(28z),(28t),(28u),(28v))$

\(\displaystyle Y= (x-y+2z-2t+3u-3v) \) x $((1),(-1),(2),(-2),(3),(-3))$ = $((x-y+2z-2t+3u-3v),(-x+y-2z+2t-3u+3v),(2x-2y+4z-4t+6u-6v),(-2x+2y-4z+4t-6u+6v),(3x-3y+6z-6t+9u-9v),(-3x+3y-6z+6t-9u+9v))$

\(\displaystyle X - Y \) = $((27x-y+2z-2t+3u-3v),(-x+27y-2z+2t-3u+3v),(2x-2y+24z-4t+6u-6v),(-2x+2y-4z+24t-6u+6v),(3x-3y+6z-6t+19u-9v),(-3x+3y-6z+6t-9u+19v))$

Adesso mi conviene usare il metodo di riduzione di Gauss? Così potrei ottenere la dimensione dell'immagine se il rango è massimo e una sua base, il ker avrebbe dimensione 0, per la traccia essendo una matrice simmetrica faccio la somma degli elementi sulla diagonale. E' giusto come ragionamento?

[j18eos]

"alex003":...Adesso mi conviene usare il metodo di riduzione di Gauss? Così potrei ottenere la dimensione dell'immagine se il rango è massimo e una sua base, il ker avrebbe dimensione 0, per la traccia essendo una matrice simmetrica faccio la somma degli elementi sulla diagonale. E' giusto come ragionamento?

In mancanza d'altro vai sicuro con Gauss; e la risposta all'ultima domanda è sì!

[Sk_Anonymous]

Mi pare che nel calcolo dell'ultima matrice ci siano dei segni sbagliati. Pongo anch'io una domanda: come si applica il metodo di riduzione di Gauss ad una matrice 6x1 ( sei righe x una colonna ...) ?

[j18eos]

"ciromario":...Pongo anch'io una domanda: come si applica il metodo di riduzione di Gauss ad una matrice 6x1 ( sei righe x una colonna ...) ?

Volendo calcolare il nucleo di quella applicazione lineare si ottiene un sistema di 6 equazioni lineari in 6 incognite.

[Sk_Anonymous]

Che per trovare il nucleo si debba risolvere un sistema 6x6 ne sono ben consapevole. Ed anche da parecchio !