Esercizio da compito su insieme connesso
Salve a tutti, sto preparando l'esame di geometria 2 e in particolare la parte riguardante topologia, facendo vari esercizi da compito mi sono imbattuto in uno dove mi sono completamente bloccato, l'esercizio è questo:
Sia $X={(x,y,z) in RR^3|x^2+2*y^2=3 , z^2=(arctan(x*y-1))^2}$
a) Provare che $X$ è compatto in $RR^3$
b) Provare che $X$ è connesso in $RR^3$
Ora, il punto a penso di essere riuscito a farlo in questo modo:
siccome devo dimostrare che $X$ è compatto in $RR^3$ basta far vedere che è chiuso e limitato, per far vedere che è limitato ho fatto così $sqrt(x^2+y^2+z^2)<=sqrt(x^2+2y^2+(arctan(x*y-1))^2)<=sqrt(3+(pi/2)^2)$ questo è un numero indipendente da $(x,y,z)$ quindi lo posso prendere come raggio di una palla che contiene $X$. $X$ risulta limitato.
Per far vedere che è chiuso ho considerato due insiemi diversi $A={(x,y,z) in RR^3|x^2+2*y^2=3 }$ che risulta chiuso in quanto $A=f^(-1)({3})$ con $f(x,y)=x^2+2*y^2$ funzione continua, essendo ${3}$ un chiuso anche la sua controimmagine lo è, analogamente per la seconda parte di $X$ quella con l'arcontangente per capirci, e poi ho detto che l'intersezione di chiusi è un chiuso e siccome $X$ è intersezione proprio dei due insiemi creati è un chiuso, quindi $X$ è compatto di $RR^3$
Adesso vengono i problemi, come posso fare a dimostrare che $X$ è connesso? non posso più sfruttare l'intersezione perchè l'intersezione di due connessi non è un connesso in generale (se non sbagli;, non ho trovato niente ne su internet ne sui libri su questo fatto, ma intuitivamente dovrebbe essere così, basta pensare all'intersezione di una parabola e di un'ellisse per esempio, questa non sempre sarà connessa. Mi confermate questa osservazione?) Detto questo, penso che dovrei riuscire a trovarmi una funzione continua che mi dia come immagine di un connesso proprio l'insieme $X$ ma non riesco proprio ad immaginarla.
Potreste darmi qualche idea per favore?
Grazie mille
Sia $X={(x,y,z) in RR^3|x^2+2*y^2=3 , z^2=(arctan(x*y-1))^2}$
a) Provare che $X$ è compatto in $RR^3$
b) Provare che $X$ è connesso in $RR^3$
Ora, il punto a penso di essere riuscito a farlo in questo modo:
siccome devo dimostrare che $X$ è compatto in $RR^3$ basta far vedere che è chiuso e limitato, per far vedere che è limitato ho fatto così $sqrt(x^2+y^2+z^2)<=sqrt(x^2+2y^2+(arctan(x*y-1))^2)<=sqrt(3+(pi/2)^2)$ questo è un numero indipendente da $(x,y,z)$ quindi lo posso prendere come raggio di una palla che contiene $X$. $X$ risulta limitato.
Per far vedere che è chiuso ho considerato due insiemi diversi $A={(x,y,z) in RR^3|x^2+2*y^2=3 }$ che risulta chiuso in quanto $A=f^(-1)({3})$ con $f(x,y)=x^2+2*y^2$ funzione continua, essendo ${3}$ un chiuso anche la sua controimmagine lo è, analogamente per la seconda parte di $X$ quella con l'arcontangente per capirci, e poi ho detto che l'intersezione di chiusi è un chiuso e siccome $X$ è intersezione proprio dei due insiemi creati è un chiuso, quindi $X$ è compatto di $RR^3$
Adesso vengono i problemi, come posso fare a dimostrare che $X$ è connesso? non posso più sfruttare l'intersezione perchè l'intersezione di due connessi non è un connesso in generale (se non sbagli;, non ho trovato niente ne su internet ne sui libri su questo fatto, ma intuitivamente dovrebbe essere così, basta pensare all'intersezione di una parabola e di un'ellisse per esempio, questa non sempre sarà connessa. Mi confermate questa osservazione?) Detto questo, penso che dovrei riuscire a trovarmi una funzione continua che mi dia come immagine di un connesso proprio l'insieme $X$ ma non riesco proprio ad immaginarla.
Potreste darmi qualche idea per favore?
Grazie mille
Risposte
Prima di tutto, la prima parte mi sembra corretta. Per la seconda, considera come appare l'insieme. Hai una specie di cilindro parallelo all'asse \(z\) che si interseca con due superfici cartesiane (una per \(z = -\arctan(xy-1)\) e l'altra per \(z = \arctan(xy-1)\)). L'intersezione tra il cilindro e ogni superficie (separatamente) è connessa (si tratta in effetti di una curva ottenibile scrivendo \((x,y)\) in forma polare in funzione del solo angolo). A questo punto è sufficiente dimostrare che l'intersezione tra questi insiemi connessi è non vuota (cioè che esistono punti con \(z = 0\) nell'intersezione).
mmm...quindi a quanto ho capito basta prendere l'intersezione tra i due sottoinsiemi e vedere che le due parti (negativa e positiva) hanno soluzioni in comune?
Cioè vediamo cn i conti se ho capito:
prendo l'intersezione tra $x^2+2⋅y^2=3$ e $z^2=(arctan(x⋅y−1))^2$ cioè per esempio posso scrivere $z=\pm arctg(y*sqrt(3-2*y^2)-1)$
a questo punto faccio l'intersezione tra queste due parti cioè scrivo $arctg(y*sqrt(3-2*y^2)-1)=-arctg(y*sqrt(3-2*y^2)-1)$ e trovo le soluzioni cioè $sqrt(3*y^2-2y^4)=1 =>2y^4-3y^2+1=0 $ la quale ha soluzione perchè biquadratica con $delta=5 != 0$
detto questo posso concludere che è connesso?
Cioè vediamo cn i conti se ho capito:
prendo l'intersezione tra $x^2+2⋅y^2=3$ e $z^2=(arctan(x⋅y−1))^2$ cioè per esempio posso scrivere $z=\pm arctg(y*sqrt(3-2*y^2)-1)$
a questo punto faccio l'intersezione tra queste due parti cioè scrivo $arctg(y*sqrt(3-2*y^2)-1)=-arctg(y*sqrt(3-2*y^2)-1)$ e trovo le soluzioni cioè $sqrt(3*y^2-2y^4)=1 =>2y^4-3y^2+1=0 $ la quale ha soluzione perchè biquadratica con $delta=5 != 0$
detto questo posso concludere che è connesso?
Dovresti forse prima di tutto dimostrare che i due insiemi sono connessi. A questo punto la loro unione è connessa se, come hai mostrato, hanno intersezione non vuota.
mmm...ma per dimostrare che i due insiemi sono connessi non basta dire che esiste la funzione $f_1 : A->X_1$ dove $A={(x,y,z)in RR^3|-sqrt(3/2)<=y<=sqrt(3/2)}$ e $X_1={(x,y,z)in RR^3|z=+arctg(y*sqrt(3-2*y^2)-1)}$ con $f_1(x,y,z)=z-arctg(y*sqrt(3-2*y^2)-1)$. $A$ è connesso perchè intervallo di $RR^3$, $f_1$ continua dove è definita, quindi anche $X_1$ risulta connesso. A questo punto potrei fare la stessa cosa per $X_2$ con la funzione $f_2=z+arctg(y*sqrt(3-2*y^2)-1)$
Può essere giusto? Ho qualche dubbio sulla funzione che ho definito, è giusto prendere $A$ e $X_1$ sottoinsiemi di $RR^3$?
Può essere giusto? Ho qualche dubbio sulla funzione che ho definito, è giusto prendere $A$ e $X_1$ sottoinsiemi di $RR^3$?
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