Esercizio con base

[lazza2]

Vi posto un esercizio che non sono in grado di comprendere:
Si dica quali dei seguenti insiemi è un sottospazio di (R^4) ed in caso affermativo se ne scriva una base:

U = {(x,y,z,t) € (R^4) | x+y=0 , z-t=0}
V = {(x,y,z,t) € (R^4) | x+y = 0, z^3 + t^3 =0}
T = {(x,y,z,t) € (R^4) | x=2y=3z=4t}

(il simbolo € equivale ad appartiene)

Quale è il ragionamento da fare?

[Chicco_Stat_1]

come prima cosa devi verificare se questi insiemi sono effettivamenti spazi vettoriali (ricordiamo che un sottospazio di uno spazio vettoriale, quale è ad esempio $R^4$, è a sua volta uno spazio vettoriale)
deciso questo ne trovi una base

[Chicco_Stat_1]

se non ricordo male gli unici sottospazi vettoriali di $R^4$ sono:
l'origine
le rette per l'origine
i piani per l'origine
gli iper piani per l'origine

ma attendo conferma, è passato un po' dall'esame di algebra lineare

[_Tipper]

Confermo, anche se ci sarebbe anche $\mathbb{R}^4$ stesso.

[Chicco_Stat_1]

giusto dai mi è sfuggito eheh

[fireball1]

Chicco ma tu cosa studi?

[Chicco_Stat_1]

Scienze Statistiche..o meglio studiavo, mi laureo fra 17 giorni! perché?

[fireball1]

Non si finisce mai di studiare...
Perché mi incuriosisce che anche a Scienze Statistiche
si studia Geometria Differenziale...

[Chicco_Stat_1]

ehm no..difatti non si studia...se leggi il post sulla scomposizione del vettore curvatura in cui Sonja mi sta dedicando tutto questo tempo l'ho scritto..l'ho dovuta studiare da solo..

[_Tipper]

Scusate se vado OT, ma sono scemo io o... dal forum vedo che Chicco si è registrato da pochi giorni e ha scritto 27 messaggi, se clicco sul suo nick mi viene scritto che è registrato da ottobre del 2004 e ha scritto 5 messaggi, perché mai???

[Chicco_Stat_1]

perché il nick Chicco_Stat ora è disattivato...il forum deve avere qualche problema, questo se vedi è Chicco_Stat_
in pratica mi sono iscritto anni fa ma non ho mai scritto, l'altro giorno sono entrato di nuovo dopo secoli e ho fatto il cambio della mail, lì mi hanno disattivato l'account e non l'hanno più riattivato, così ho aperto quest'altro

[_Tipper]

Ahhhh, non avevo fatto caso al secondo underscore, chiuso l'OT, scusate per l'interruzione...

[Chicco_Stat_1]

eheh figurati, che già eravamo in OT dal topic iniziale

[miuemia]

ciao,
$U$ e $T$ sono sottospazi $2$-dimensionali e una base è immediata trovarla visto le equazioni che li descrivono,
mentre $V$ non è un sottospazio poichè la somma di due vettori che stanno in $V$ non sta in $V$... ciao a presto

[lazza2]

scusa l'ignoranza ma come hai fatto a stabilire che U e T sono sottospazi 2-dimensionali. Di preciso a che cosa servono le equazioni che definiscono i vari insiemi?

[_Tipper]

Lo spazio $T$ non ha dimensione $2$, ma $1$. Infatti basta porre, ad esempio, $t=\alpha$ come parametro libero, allora si ottiene:

$\{(x=4 \alpha),(y=2 \alpha),(z=\frac{4}{3} \alpha),(t=\alpha):}$

Quindi il generico vettore di $T$ si scrive come:

$((4 \alpha),(2 \alpha),(\frac{4}{3} \alpha),(\alpha)) = \alpha ((4),(2),(\frac{4}{3}),(1))$

Quindi una base di $T$ è data dal vettore $((4),(2),(\frac{4}{3}),(1))$, pertanto la dimensione di $T$ è $1$.

[miuemia]

si hai ragione scusa Tipper, pensavo ci fosse una virgola e invece c'è uguale tra $2y$ e $3z$... sbadato

[lazza2]

ma la dimensione di uno spazio vettoriale non equivale al numero degli elementi della base?

[miuemia]

si infatti, qual è il problema???

[lazza2]

ma se la base è T il numero dei suoi elementi non è 4?

[miuemia]

ma se la base è T il numero dei suoi elementi non è 4?

che vuol dire la base è T????
non capisco