Esercizio con base
Vi posto un esercizio che non sono in grado di comprendere:
Si dica quali dei seguenti insiemi è un sottospazio di (R^4) ed in caso affermativo se ne scriva una base:
U = {(x,y,z,t) € (R^4) | x+y=0 , z-t=0}
V = {(x,y,z,t) € (R^4) | x+y = 0, z^3 + t^3 =0}
T = {(x,y,z,t) € (R^4) | x=2y=3z=4t}
(il simbolo € equivale ad appartiene)
Quale è il ragionamento da fare?
Si dica quali dei seguenti insiemi è un sottospazio di (R^4) ed in caso affermativo se ne scriva una base:
U = {(x,y,z,t) € (R^4) | x+y=0 , z-t=0}
V = {(x,y,z,t) € (R^4) | x+y = 0, z^3 + t^3 =0}
T = {(x,y,z,t) € (R^4) | x=2y=3z=4t}
(il simbolo € equivale ad appartiene)
Quale è il ragionamento da fare?
Risposte
$4$ sono le componenti di ogni vettore appartenente a $T$, dato che $T$ è un sottospazio di $\mathbb{R}^4$...
la dimensione è data dal numero di vettori (in questo caso 4-dimensionali) che compongono la base (in questo caso 1)
Se ti interessa lo svolgimento per $U$
Controlli se è uno spazio vettoriale:
$AA v={(v_1,v_2,v_3,v_4) in RR^4 | v_1+v_2=0, v_3-v_4=0},u={(u_1,u_2,u_3,u_4) in RR^4 | u_1+u_2=0, u_3-u_4=0} in U$ e $AA r,s in KK$ deve valere
$w = rv+su$ con $w in U$ per cui
$r(v_1,v_2,v_3,v_4)+s(u_1,u_2,u_3,u_4)=(rv_1+su_1,rv_2+su_2,rv_3+su_3,rv_4+su_4)$ e se questo appartiene ad $U$ deve valere
$rv_1+su_1+rv_2+su_2=0$ ed infatti vale perchè $r(u_1+u_2)+s(u_1+u_2)=0$ visto che $v_1+v_2=0$ $u_1+u_2=0$ per ipotesi
ma anche $rv_3+su_3-rv_4+su_4=0$ che a sua volta vale visto che $r(u_3-u_4)+s(u_3-u_4)=0$ visto che $v_3-v_4=0$ $u_3-u_4=0$ per ipotesi
perciò $U$ è un sottospazio vettoriale!
Ora per ottenere una sua base ti basta riscrivere $U = {(x,y,z,t) in RR^4 | x+y=0 , z-t=0}$ in questo modo
$U = {(x,-x,z,z)| x,z in RR}$ e trovi subito 2 vettori linearmente indipendenti che generano $U$ per cui sono una base di $U$ ad esempio: $<(0,0,1,1),(1,-1,0,0)>$
Ciao
Controlli se è uno spazio vettoriale:
$AA v={(v_1,v_2,v_3,v_4) in RR^4 | v_1+v_2=0, v_3-v_4=0},u={(u_1,u_2,u_3,u_4) in RR^4 | u_1+u_2=0, u_3-u_4=0} in U$ e $AA r,s in KK$ deve valere
$w = rv+su$ con $w in U$ per cui
$r(v_1,v_2,v_3,v_4)+s(u_1,u_2,u_3,u_4)=(rv_1+su_1,rv_2+su_2,rv_3+su_3,rv_4+su_4)$ e se questo appartiene ad $U$ deve valere
$rv_1+su_1+rv_2+su_2=0$ ed infatti vale perchè $r(u_1+u_2)+s(u_1+u_2)=0$ visto che $v_1+v_2=0$ $u_1+u_2=0$ per ipotesi
ma anche $rv_3+su_3-rv_4+su_4=0$ che a sua volta vale visto che $r(u_3-u_4)+s(u_3-u_4)=0$ visto che $v_3-v_4=0$ $u_3-u_4=0$ per ipotesi
perciò $U$ è un sottospazio vettoriale!
Ora per ottenere una sua base ti basta riscrivere $U = {(x,y,z,t) in RR^4 | x+y=0 , z-t=0}$ in questo modo
$U = {(x,-x,z,z)| x,z in RR}$ e trovi subito 2 vettori linearmente indipendenti che generano $U$ per cui sono una base di $U$ ad esempio: $<(0,0,1,1),(1,-1,0,0)>$
Ciao
grazie dust spiegazione chiarissima. Solo una cosa: perchè sono due i vettori che generano la base? E' perchè ho solo x e z?
"lazza":
grazie dust spiegazione chiarissima. Solo una cosa: perchè sono due i vettori che generano la base? E' perchè ho solo x e z?
Perchè con le condizioni che caratterizzano quello spazio vettoriale puoi esprimere 2 delle 4 variabili(la $y$ e la $z$) come combinazione lineare delle altre 2 rimanenti(la $x$ e la $t$). Perciò grazie a sole 2 delle 4 variabili posso costruire tutto il sottospazio vettoriale!
Ora ho io una cosa da chiedere, un piccolo lapsus. HO un es dove ci sono 4 vettori di $RR^4$. Il testo chiede di trovare una base generata del sottospazio generato dai 4 vettori. Ho controllato e sono linearmente dipendenti(il rango della matrice costruita con i vettori come riga risulta 3). Ora se devo costruire una base posso semplicemente scegliere 3 dei 4 vettori, vero?
(Cioè, sono sicuro che scegliendone 3 su 4 in qualsiasi modo avrò una base?)
Vi posto i vettori dell'es per sicurezza:
$(1,2,0,1),(0,1,1,2),(1,0,-2,-3),(0,0,1,0)$
Io ho trovato che il 1 è combinazione lineare degli altri 3. Ora sapendo che la base del sottosp. generato dai 4 vettori ha dimensione 3 io posso scegliere a piacere 3 dei 4 vettori per scrivere la base? Io penso che in generale la risposta è no, solo che in questo esercizio comunque ne prenda 3 sono sempre lin indip.....
AIUUUUUTOOOOOO!!
Se, come hai detto, sono linearmente dipendenti, proviamo a considerare il primo, il secondo e il terzo, e costruiamo una matrice dove ogni vettore è una riga:
$((1,2,0,1),(0,1,1,2),(1,0,-2,-3),(0,0,1,0))$
Si vede che la matrice è a scala, quindi tali vettori sono linearmente indipendenti.
$((1,2,0,1),(0,1,1,2),(1,0,-2,-3),(0,0,1,0))$
Si vede che la matrice è a scala, quindi tali vettori sono linearmente indipendenti.
"Dust":
Ora se devo costruire una base posso semplicemente scegliere 3 dei 4 vettori, vero?
(Cioè, sono sicuro che scegliendone 3 su 4 in qualsiasi modo avrò una base?)
Su questo punto non sono d'accordo, ti faccio un esempio:
$v_1=((1),(0),(0),(0))$
$v_2=((2),(0),(0),(0))$
$v_3=((0),(1),(0),(0))$
$v_4=((0),(0),(1),(0))$
Si vede subito che questi vettori sono linearmente dipendenti, come si vede subito che lo spazio generato da tali vettori ha dimensione $3$, ma non posso scegliere $3$ vettori a caso fra questi; ad esempio $(v_1, v_3, v_4)$ sarebbe una base del sottospazio, ma $(v_1, v_2, v_3)$, no.
"Tipper":
Su questo punto non sono d'accordo, ti faccio un esempio:
Alla fine non ho più modificato ma mi ero accorto che la cosa che avevo scritto era insensata
Era solo perchè quelli dell'esercizio erano tutti a tre a tre lin indip
"Tipper":
Se, come hai detto, sono linearmente dipendenti, proviamo a considerare il primo, il secondo e il terzo, e costruiamo una matrice dove ogni vettore è una riga:
$((1,2,0,1),(0,1,1,2),(1,0,-2,-3),(0,0,1,0))$
Si vede che la matrice è a scala, quindi tali vettori sono linearmente indipendenti.
Ma ritornando alla matrice:
quella non è in forma canonica, quindi posso trasformarla
$rho((1,2,0,1),(0,1,1,2),(1,0,-2,-3),(0,0,1,0))= rho((1,2,0,1),(0,1,1,2),(0,2,2,4),(0,0,1,0))$ ed ora la 3° e la 2° riga sono proporzionali quindi la matrice ha rango $3$.
Questa credo si anche la tua conclusione solo che (forse per una mia carenza di linguaggio) non so come tu abbia fatto ad arrivarci, visto che non conosco il significato di "matrice a scala"
Ciao
Se io (u,v,w,z)una base di uno spazio vettoriale V e poi ho un sottospazio del tipo $(U= < u+v-w,v-w,v+w-z,w-z>)$.
E' giusto dire che per trovare una base di U devo costruirmi la matrice associate a U, ridurla in forma canonica e prendere le righe come componenti della base?
E' giusto dire che per trovare una base di U devo costruirmi la matrice associate a U, ridurla in forma canonica e prendere le righe come componenti della base?
Data una matrice, non necessariamente quadrata, chiamando diagonale principale gli elementi di posti $ii$, allora la matrice si dirà a scala se tutti gli elementi sotto la diagonale principale, o sopra, sono nulli.
"lazza":
Se io (u,v,w,z)una base di uno spazio vettoriale V e poi ho un sottospazio del tipo $(U= < u+v-w,v-w,v+w-z,w-z>)$.
E' giusto dire che per trovare una base di U devo costruirmi la matrice associate a U, ridurla in forma canonica e prendere le righe come componenti della base?
Se ho capito bene il generico vettore appartenente a quel sottospazio si scrive come:
$((u+v-w),(v-w),(v+w-z),(w-z))=u((1),(0),(0),(0)) + v((1),(1),(1),(0)) + w((-1),(1),(1),(1)) + z((0),(0),(-1),(-1))$
quindi il sottospazio $V$ è generato dai vettori $((1),(0),(0),(0))$, $((1),(1),(1),(0))$, $((-1),(1),(1),(1))$, $((0),(0),(-1),(-1))$
Se questi quattro vettori sono linearmente indipendenti formano pure una base, altrimenti per trovare la base ti basta estrarre quelli linearmente indipendenti.
"Tipper":
Data una matrice, non necessariamente quadrata, chiamando diagonale principale gli elementi di posti $ii$, allora la matrice si dirà a scala se tutti gli elementi sotto la diagonale principale, o sopra, sono nulli.
ok, capito!
"Tipper":
$((u+v-w),(v-w),(v+w-z),(w-z))=u((1),(0),(0),(0)) + v((1),(1),(1),(0)) + w((-1),(1),(1),(1)) + z((0),(0),(-1),(-1))$
quindi il sottospazio $V$ è generato dai vettori $((1),(0),(0),(0))$, $((1),(1),(1),(0))$, $((-1),(1),(1),(1))$, $((0),(0),(-1),(-1))$
Se questi quattro vettori sono linearmente indipendenti formano pure una base, altrimenti per trovare la base ti basta estrarre quelli linearmente indipendenti.
e lo sono perciò i $4$ vettori formano una base di $V$
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