Esercizio componenti connesse

[Mappers98]

Ciao a tutti ho dei problemi con la risoluzione di questo esercizio. Se $f:X to Y$ è un omeomorfismo e $C subseteqX$ è una componente connessa di $X$ allora $f(C)$ è una componente connessa di $Y$.
Non so proprio come muovermi grazie in anticipo a chi mi aiuterà.

[Mappers98]

E come posso concludere che due componenti coneìnesse hanno lo stesso numero di componenti connesse?

[j18eos]

...ma una componente connessa quante componenti connesse ha?

O se preferisci: di che colore è il cavallo bianco di Napoleone?

P.S.: sai dimostrare che l'immagine continua di un connesso è ancóra connesso?

[Mappers98]

Perfetto grazie mille per la risposte. Una componente connessa ha una componente connessa. Quindi è sufficiente sfruttare il fatto che la connessione è una prop topologica?

[solaàl]

"Mappers98":Perfetto grazie mille per la risposte. Una componente connessa ha una componente connessa. Quindi è sufficiente sfruttare il fatto che la connessione è una prop topologica?

Beh, no, questa precisazione è completamente inutile, non hai dimostrato altro che una tautologia (le componenti connesse.. Sono connesse per definizione).

Invece: siccome f è biiettiva, l'immagine di una componente connessa è non solo un connesso, ma una intera componente, perché altrimenti f non sarebbe suriettiva.

Un modo leggermente più raffinato di ragionare è dire che una biiezione tra due spazi X e Y induce una biiezione tra gli insiemi delle componenti connesse dell'uno e dell'altro. Queste sono partizioni rispettivamente di X e di Y, e una funzione biiettiva deve rispettare le partizioni (perché preserva e riflette le unioni e le intersezioni). Da ciò, e dal fatto che X e Y sono omeomorfi alla unione disgiunta dei sottospazi dati dalle loro componenti connesse, segue la tesi.