Esercizio combinazione lineare

[Bombo1]

Ciao ragazzi!! non ho passato l'esame di geometria e questo è uno degli esercizi che non sono riuscito a risolvere, mi dareste una mano per capire come va fatto?

Per quali valori di $K$ $in$ $R$ il vettore $v=$ $(2,0,2)$ è combinazione lineare dei $v1=$ $(2,2,k)$ $v2=$ $(k,1,3)$ ?

[garnak.olegovitc1]

"Bombo":Ciao ragazzi!! non ho passato l'esame di geometria e questo è uno degli esercizi che non sono riuscito a risolvere, mi dareste una mano per capire come va fatto?
Per quali valori di $K$ $in$ $R$ il vettore $v=$ $(2,0,2)$ è combinazione lineare dei $v1=$ $(2,2,k)$ $v2=$ $(k,1,3)$ ?

usa la definizione, \(v \) è combinazione lineare di \(v_1 \) e \(v_2\), cioè anche \(v \in \operatorname{span}((v_1,v_2))\), se \(\exists (\alpha_1,\alpha_2) \in \Bbb{R}^2(v=\alpha_1\cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2)\), alla fine otterrai un sistema lineare con variabili \( \alpha_1,\alpha_2\) e parametro \(k\), ergo devi studiare il sistema quando ammette soluzione!! Saluti

[stormy1]

"Bombo":Ciao ragazzi!! non ho passato l'esame di geometria e questo è uno degli esercizi che non sono riuscito a risolvere, mi dareste una mano per capire come va fatto?

Per quali valori di $ K $ $ in $ $ R $ il vettore $ v= $ $ (2,0,2) $ è combinazione lineare dei $ v1= $ $ (2,2,k) $ $ v2= $ $ (k,1,3) $ ?

devi trovare il valore di $k$ per il quale il determinante della matrice che ha come righe i tre vettori abbia determinante nullo
ciò ti assicura che i tre vettori non sono indipendenti;accertatoti che questo valore non rende proporzionali $v_1$ e $v_2$,non resta che una conclusione : $v$ dipende linearmente da $v_1$ e $v_2$

[Bombo1]

"garnak.olegovitc":usa la definizione, \(v \) è combinazione lineare di \(v_1 \) e \(v_2\), cioè anche \(v \in \operatorname{span}((v_1,v_2))\), se \(\exists (\alpha_1,\alpha_2) \in \Bbb{R}^2(v=\alpha_1\cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2)\), alla fine otterrai un sistema lineare con variabili \( \alpha_1,\alpha_2\) e parametro \(k\), ergo devi studiare il sistema quando ammette soluzione!! Saluti

OK usando questa definizione mi viene il sequente sistema lineare:
$\{(2a1+ka1=2),(2a2+a2=0),(ka1+3a2=2):}$
per studiare quando il sistema ammette soluzione devo usare il teorema di rouchè capelli? se si devo verificare se il rango della matrice completa e quella incompleta siano uguali e ho provato a calcolare il determinante della matrice completa, ma mi viene $16a1a2-2ka1a2-4a1ka1$ e non so come si risolve

[stormy1]

bombo,ma l'hai vista la mia risposta ?
o non mi ritieni affidabile ?

[vict85]

Segui il suggerimento di Stormy, è più immediato ed è equivalente.

Nota che \(\displaystyle v = \alpha v_1 + \beta v_2 \) equivale a \(\displaystyle 0 = v + \alpha v_1 + \beta v_2 \). Se tu moltiplichi tutto per un valore \(\displaystyle \gamma\neq 0 \) ricavi \(\displaystyle 0 = \gamma v + \gamma \alpha v_1 + \gamma \beta v_2 \) che è la comune condizione di dipendenza lineare tra vettori.
Viceversa se \(\displaystyle v \), \(\displaystyle v_1 \) e \(\displaystyle v_2 \) sono linearmente dipendenti allora esistono \(\displaystyle \gamma \), \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) tali che \(\displaystyle 0 = \gamma v + \gamma \alpha v_1 + \gamma \beta v_2 \). Nel caso in cui \(\displaystyle \gamma\neq 0 \) si ricava che \(\displaystyle v = \frac{\alpha}{\gamma}v_1 + \frac{\beta}{\gamma}v_2 \) cioè la condizione che stai cercando.

Devi però escludere e trattare a parte i \(\displaystyle k \) che rendono \(\displaystyle v_1 \) e \(\displaystyle v_2 \) linearmente dipendenti. Ma in questo caso è facile perché non esiste nessun \(k\) di questo tipo (ma andrebbe controllato).

[Bombo1]

"stormy":bombo,ma l'hai vista la mia risposta ?
o non mi ritieni affidabile ?

AHAHAH nono tranquillo non avevo letto scusa, all'esame ho provato il metodo di garnak solo che non ero riuscito comunque a risolvere l'esercizio ora provo come hai detto tu e vi faccio sapere, scusate se vi rispondo dopo tanto tempo e che sto preparando per un'altro esame .

[Bombo1]

"vict85":Segui il suggerimento di Stormy, è più immediato ed è equivalente.

Nota che \(\displaystyle v = \alpha v_1 + \beta v_2 \) equivale a \(\displaystyle 0 = v + \alpha v_1 + \beta v_2 \). Se tu moltiplichi tutto per un valore \(\displaystyle \gamma\neq 0 \) ricavi \(\displaystyle 0 = \gamma v + \gamma \alpha v_1 + \gamma \beta v_2 \) che è la comune condizione di dipendenza lineare tra vettori.
Viceversa se \(\displaystyle v \), \(\displaystyle v_1 \) e \(\displaystyle v_2 \) sono linearmente dipendenti allora esistono \(\displaystyle \gamma \), \(\displaystyle \alpha \) e \(\displaystyle \beta \) tali che \(\displaystyle 0 = \gamma v + \gamma \alpha v_1 + \gamma \beta v_2 \). Nel caso in cui \(\displaystyle \gamma\neq 0 \) si ricava che \(\displaystyle v = \frac{\alpha}{\gamma}v_1 + \frac{\beta}{\gamma}v_2 \) cioè la condizione che stai cercando.

Devi però escludere e trattare a parte i \(\displaystyle k \) che rendono \(\displaystyle v_1 \) e \(\displaystyle v_2 \) linearmente dipendenti. Ma in questo caso è facile perché non esiste nessun \(k\) di questo tipo (ma andrebbe controllato).

ho provato il tuo ragionamento ma mi sono perso gli ultimi passaggi, comunque sia ho provato come ha detto stormy e il determinante viene nullo per $k=8/3$ quindi posso dire che per questo valore il vettore $v$ è combinazione lineare degl'altri due?