Esercizio App.Lineari

[daddoloso]

Testo:
Sia V=R2[x] grado minore/uguale 2
Sia W={(x,y,z) appartenente a R^3 : -x+y+z=0}
Sia S l'insieme delle applicazioni lineari f:V va in R^3 : f(x^2+x-1)=(1,-1,2) e f(x^2+1)=(2,2,1)
Sia W sottoinsieme di Imm(f)

Domande:
1) Dimostra S è non vuoto
2) Dimostra che ogni f è isomorfismo
3) Esiste f appartente a S : f(2x-4)=(0,1,1)
4) Esiste f appartente a S : f(x)=(0,-4,3)

Questo è un esercizio che sto facendo, ma non riesco a formalizzare i concetti.
Per il punto 1) ho provato a scrivere la matrice associata all'applicazione lineare (forse sbagliando), ma poi non sono riuscito ad arrivare ad una conclusione.
Per il punto 2) sappiamo che le dimensioni di V e W sono 3 e quindi sono isomorfi, ma manca come collegarli agli f
Gli altri punti non ne ho idea.

Aspetto delucidazioni,
Grazie.

[Kashaman]

"Daddo8":

Per il punto 2) sappiamo che le dimensioni di V e W sono 3 e quindi sono isomorfi, ma manca come collegarli agli f

Sicuro?
Io credo di no. Una base di $V=RR_2[x]$ è data da $1,x,x^2$. Quindi ha dimensione $3$.
$W$ è un piano. Ha dimensione $2$. V e W non sono isomorfi.

Rivedi bene la teoria, studiati i teoremi riguardanti le applicazioni lineari, in particolare quelli che ne garantiscono l'esistenza.
Buona fortuna.

[daddoloso]

Già, giusto.
Sappiamo però che V ed R^3 hanno la stessa dimensione, e quindi questo dovrebbe bastare a rispondere alla domanda 2. Giusto?

[Kashaman]

"Daddo8":Già, giusto.
Sappiamo però che V ed R^3 hanno la stessa dimensione, e quindi questo dovrebbe bastare a rispondere alla domanda 2. Giusto?

Perché dovrebbe bastare?
Dal fatto che $V$ ed $RR^3$ hanno la stessa dimensione puoi dedurne che sono isomorfi.
L'esercizio 3 ti chiede altro.
In sostanza ti sta chiedendo se esiste un'applicazione lineare $f : RR_2[x] -> RR^3$
tale che

$x^2+x-1 -> f(x^2+x-1)=(1,-1,2) $
$ x^2+1 -> f(x^2+1)=(2,2,1)$
$2x-4 -> f(2x-4)=(0,1,1)$

A questa domanda sarai capace di rispondere rivedendo un po' di teoria e teoremi base dell'algebra lineare,
in particolare sulle applicazioni.

Ciao!

[daddoloso]

3)
2x−4→f(2x−4)=(0,1,1)
x=y+z da W
x=f[2(y+z)-4]=(0,1,1)
0=4-4=0
Allora esiste.
4) Stesso ragionamento, e viene 0=1 quindi non esiste.

Questo può essere un ragionamento che torna?

[Kashaman]

"Daddo8":3)
2x−4→f(2x−4)=(0,1,1)
x=y+z da W
x=f[2(y+z)-4]=(0,1,1)
0=4-4=0
Allora esiste.

Non capisco dove vuoi andare a parare.
Rileggi il mio commento, segui il mio consiglio, rivedi la teoria.