Esercizio applicazione lineare

[Carlocchio]

Data un'applicazione $ f(x,y,z)=(x+3y,2x+z,2x-6y+2z) $ e una $ g(x,y,z)=(3x-y, z+x) $
determinare se gof è suriettiva.
Ho trovato che $ gof=(x+9y-z, 3x-3y+2z) $ $ Im(gof)=<(1,3)(9,-3)(-1,2)> $
ora come faccio a dire se è suriettiva? Grazie in anticipo

[Ghigo1]

f è suriettiva se l'immagine ha dimensione uguale allo spazio di riferimento no?! quindi in questo caso penso sia suriettiva perchè l'immagine ha dim=3 e lo spazio ha dim=3

[Carlocchio]

In teoria si ma sulle soluzioni c'è scritto che Im(L)=2?! (da qui il mio dubbio)

[_prime_number]

$Im (g\circ f)$ è sottospazio del codominio che in questo caso è $\mathbb{R}^2$. La matrice relativa a $g\circ f$ ha chiaramente rango $2$, quindi $dim(Im (g\circ f)) =2$ e quindi necessariamente $Im(g\circ f)=\mathbb{R}^2$ e l'applicazione è suriettiva.

Paola

[Ghigo1]

hai ragione, la dimensione è 2 e non 3

[Carlocchio]

OK grazie mille