Esercizio algebra - spazio con prodotto hermitiano canonico
Ciao ragazzi, sono alle prese con la preparazione dell'esame di algebra lineare e sono davvero in alto male purtroppo. E' una materia che mi rimane ostica per vari motivi nonostante ci metta tutto l'impegno che posso. Vi posterò alcuni esercizi che ho difficoltà a risolvere e vi sarò grato se potrete aiutarmi. Grazie.
Si consideri $CC^3$ con il prodotto hermitiano canonico. Si indichi $c in CC^3$ tale che $c \bot ((1 - 2i), (1 + 2i), (2 + 2i))$, $||c|| = 5$.
La mia idea era quella di impostare un'equazione tipo $x(1-2i) +y(1+2i) +z(2+2i)= 0$ per trovare le componenti di $c$, ma poi non saprei come imporre $||c||=5$. Diciamo che non so proprio dove mettere le mani...
Si consideri $CC^3$ con il prodotto hermitiano canonico. Si indichi $c in CC^3$ tale che $c \bot ((1 - 2i), (1 + 2i), (2 + 2i))$, $||c|| = 5$.
La mia idea era quella di impostare un'equazione tipo $x(1-2i) +y(1+2i) +z(2+2i)= 0$ per trovare le componenti di $c$, ma poi non saprei come imporre $||c||=5$. Diciamo che non so proprio dove mettere le mani...
Risposte
Dai, ci sei quasi. $||c||=5$ è come dire $||c||^2=25$ che è come dire $x^2+y^2+z^2=25$.
Dissonance hai a che fare con uno che nell'algebra dei numeri ha sempre avuto problemi purtroppo...
Sono andato avanti facendo questi passaggi:
ho eseguito le moltiplicazioni $x-2ix+y+2iy+2z+2iz=0$
e ho raggruppato $(x+y+2z)+2i(-x+y+z)=0$. Ma qui mi blocco perché non so come andare avanti ed usare l'espressione di $||c||^2$.
Scusami ma in queste cose sono davvero impedito.
Sono andato avanti facendo questi passaggi:
ho eseguito le moltiplicazioni $x-2ix+y+2iy+2z+2iz=0$
e ho raggruppato $(x+y+2z)+2i(-x+y+z)=0$. Ma qui mi blocco perché non so come andare avanti ed usare l'espressione di $||c||^2$.
Scusami ma in queste cose sono davvero impedito.
Devi trovare un vettore $c=(x, y,z)\inCC^3$ che verifichi due condizioni, che ti sono state date dalla traccia. A questo scopo traduci queste condizioni in opportune equazioni nelle incognite $x, y, z$ e trova almeno una soluzione. Questo dovrebbe essere pacifico, visto che hai già fatto il 50% del lavoro imponendo che $c$ sia ortogonale ad un vettore dato.
Resta da imporre $||c||=5$, ma questo significa $||c||^2=25$; ora $||c||^2=c*c=x^2+y^2+z^2$ per definizione. Quindi l'equazione che traduce $||c||=5$ è $x^2+y^2+z^2=25$. Metti questa equazione a sistema con la prima che avevi trovato, ovvero
e vai, verso il futuro.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Resta da imporre $||c||=5$, ma questo significa $||c||^2=25$; ora $||c||^2=c*c=x^2+y^2+z^2$ per definizione. Quindi l'equazione che traduce $||c||=5$ è $x^2+y^2+z^2=25$. Metti questa equazione a sistema con la prima che avevi trovato, ovvero
$x(1-2i) +y(1+2i) +z(2+2i)= 0$
e vai, verso il futuro.
Spero di essere stato sufficientemente chiaro.
Dissonance condivido alla grande tutto quello che hai detto, dalle condizioni dell'ortogonalità (a cui c'ero fortunatamente arrivato) al quadrato della norma (a cui non avevo pensato). Ed avevo già un po' pensato ad impostare il sistema che mi hai indicato, il problema è che non so come risolverlo. Non so in che modi semplificarlo e lavorarlo per arrivare alla soluzione. Verso il futuro... magari!!
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