Esercizio algebra - base sottospazio $RR^(2xx2)$

[andre88]

Salve ragazzi, ho questo esercizio:

Sia $W$ l'insieme di tutte le matrici $A in RR^(2xx2)$, tali che $((0, 0), (1, 0))A=A((0, 0), (1, 0))$.
- Si provi che $W$ è un sottospazio di $RR^(2xx2)$.
- Si indichi una base di $W$.

Sulla dimostrazione del primo punto nessun problema. Per indicare una base invece io ho trovato che $a_(12)=0$ e $a_(11)=a_(22)$ ma non ho idea di come determinarla... potreste aiutarmi? Grazie...

[andre88]

Mmm... può essere altro!! E che la base sia $<((1, 0), (0, 1)), ((0, 0), (1, 0))>$ può essere...?

[tinam73]

Come avete fatto a determinare che $a_(12)=0$ e $a_(11)=a_(22)$?

[andre88]

Grazie Sergio

@tinam73: mettendo a sistema l'equazioni che deduci dai dati del problema: $\{(0a_11+0a_21=0a_11+a_12), (0a_12+0a_22=0a_11+0a_12), (a_11+0a_21=0a_21+a_22), (a_12+0a_22=0a_21+0a_22):}$ $rArr$ ${(a_12=0), (a_11=a_22):}$

[andre88]

Giustissimo Sergio... grazie!!

[franced]

"dannoman1988":...
E che la base sia $<((1, 0), (0, 1)), ((0, 0), (1, 0))>$ ...

D'altra parte le due matrici vanno bene dal momento che:

1) la matrice identica commuta con tutte le matrici e quindi $\in W$;

2) la matrice $((0,0),(1,0))$ commuta con se stessa e quindi $\in W$.

Quindi quelle due matrici potevano essere scritte subito, senza fare nemmeno un calcolo.
L'unica cosa che, con questo approccio risolutivo, resta da vedere è la dimensione
del sottospazio vettoriale $W$.
Ma la questione è semplice, dato che nel sistema ci sono 2 equazioni lin. indipendenti.