Esercizio

[Luca.Lussardi]

Sia $A$ aperto non vuoto e non denso in $\RR^n$; dimostrare che il bordo di $A$ ha la cardinalità del continuo.

(Hint: ricordare che ogni arco di curva continuo che parte da $A$ e termina fuori da $A$ deve incontrare il bordo di $A$).

[Luca.Lussardi]

La dimostrazione che ho in mente io è appunto questa: basta tracciare il cono tangente uscente da $x$ ad una palla dentro $A$. Le rette generatrici del cono si incontrano solo in $x$, e tale cono ha un "apertura" positiva (non è degenere in una retta). Presi quindi i punti della base del cono, ovvero palla $n-1$-dimensionale che sta su uno spazio ortogonale alla retta 0$x$, dove 0 è il centro della palla, essi sono in cardinalità del continuo, e mandando da essi le congiungenti con $x$ ottengo rette distinte che si incontrano solo in $x$ ed incontrano il bordo di $A$.

Dunque il bordo di $A$ ha cardinalità maggiore o uguale del continuo; ma $\RR^n$ ha la cardinalità del continuo, per cui il bordo di $A$ non può avere che la cardinalità del continuo.

Anche la tua va bene.

Infine un insieme semplicemente connesso è un insieme connesso "senza buchi"; ovvero ogni curva chiusa nell'insieme è omotopicamente equivalente ad un punto (si può restringere con continuità fino a collassare in un punto dell'insieme).

[Thomas16]

Ottimo Luca!... grazie per la risposta ... dovrebbe essere legato al "mitico" concetto di gruppo fondamentale, che chissà se avrò mai modo di studiare...