Esercizio
Sia $A$ aperto non vuoto e non denso in $\RR^n$; dimostrare che il bordo di $A$ ha la cardinalità del continuo.
(Hint: ricordare che ogni arco di curva continuo che parte da $A$ e termina fuori da $A$ deve incontrare il bordo di $A$).
(Hint: ricordare che ogni arco di curva continuo che parte da $A$ e termina fuori da $A$ deve incontrare il bordo di $A$).
Risposte
che vuol dire che $A$ non è denso in $RR^n$?
Che la chiusura di $A$ non è tutto $\RR^n$.
ho anch'io una domanda 
mi sembra di ricordare che in R sono densi solo l'insieme dei razionali, quello degli irrazionali e ogni complementare di chiuso senza punti interni, giusto?
in R^n vale lo stesso? un aperto non denso è dunque l'unione di più superfici senza contorno?
grazie Luca!
mi sembra di ricordare che in R sono densi solo l'insieme dei razionali, quello degli irrazionali e ogni complementare di chiuso senza punti interni, giusto?
in R^n vale lo stesso? un aperto non denso è dunque l'unione di più superfici senza contorno?
grazie Luca!
per semplicità si può considerare come tale aperto una palla definita dalla metrica che induce la topologia euclidea? oppure ciò può risultare arbitrario e troppo restrittivo?
Per wedge: non sono certo se in $\RR^n$ vale quella cosa che dici. Per altro non mi è servito usare di più della definizione di insieme denso.
Per Kroldar: prendere una palla come aperto $A$ potrebbe essere un primo passo, ma poi andrebbe generalizzato ad ogni aperto generico.
Per Kroldar: prendere una palla come aperto $A$ potrebbe essere un primo passo, ma poi andrebbe generalizzato ad ogni aperto generico.
Una palla $A sub RR^n$ ha la potenza del continuo... seguendo il tuo suggerimento si può prendere un'altra palla esterna alla prima ma identica per forma e mettere ciascun punto della prima in corrispondenza biunivoca con un punto della seconda collegandoli magari con una linea. Tali linee intersecano il bordo di $A$. Siccome in $A$ c'è un numero di punti pari alla potenzia di $RR$ allora da $A$ partirà un numero di linee pari alla potenza di $RR$ che intersecheranno il bordo di $A$. Quello che non mi sembra ovvio però è il fatto che tali linee passino tutte per punti diversi... magari potrebbero passare tutte per lo stesso punto del bordo di $A$. Sono almeno sulla buona strada?
Sì, sei sulla buona strada, anche se non è detto che una palla esterna ci sia; dalle sole ipotesi questo non è garantito.
perché non è detto che una palla esterna ci sia? $RR^n$ con la topologia euclidea non comprende infinite palle di raggio finito? prendiamo due punti $x,y in RR^n$ e consideriamo $d(x,y)$ dove $d()$ è la metrica euclidea... allora scegliamo due palle di centro rispettivamente $x$ e $y$ e di raggio $r<1/2d(x,y)$... no?
Sì, certo, ma non è detto che se $A$ è un aperto non denso in $\RR^n$ allora esista una palla in $\RR^n$ meno la chiusura di $A$. La sola cosa che sai è che esiste $x$ in $\RR^n$ che non sta nella chiusura di $A$.
Ok allora sia $A$ un aperto generico (e non più una palla), colleghiamo un punto $x$ esterno ad $A$ con ogni punto interno ad $A$ con una quantità di linee pari alla potenza del continuo (posso azzardarmi a indicare tale potenza con $aleph_1$?) che attraversano il bordo di $A$. In tal modo, sicuramente il bordo di $A$ non ha potenza superiore a quella del continuo. Tuttavia nessuno ci garantisce in tal modo che non abbia potenza inferiore...
Magari un altro hint potrebbe giovare...
Magari un altro hint potrebbe giovare...
"wedge":
ho anch'io una domanda
mi sembra di ricordare che in R sono densi solo l'insieme dei razionali, quello degli irrazionali e ogni complementare di chiuso senza punti interni, giusto?
in R^n vale lo stesso? un aperto non denso è dunque l'unione di più superfici senza contorno?
grazie Luca!
Io so che per gli spazi metrici completi (quale è $RR^n$) vale il
Lemma di Baire
Gli spazi topologici compatti di Hausdorff e gli spazi metrici completi sono di seconda categoria.
(Uno spazio topologico si dice di seconda categoria se non si può scrivere come unione numerabile di chiusi rari, cioè privi di parte interna).
Un'altra formulazione che conosco è: in uno spazio metrico completo l'unione numerabile di chiusi rari è un chiuso raro.
Scusate potreste chiarirmi il testo del problema?? Se prendo R (n=1) e come aperto A=(0,1), si ha che il bordo è costituito dai punti 0 ed 1, che non hanno la cardinalità del continuo, mentre A è un aperto non denso in R... cosa sbaglio?? 
beh, suppongo che luca intendesse n>1...
Dici Irenze??
In questo caso per dimostrarlo proverei ad utilizzare il seguente lemma:
- $R^n$\(n° numerabile di punti) è connesso per archi se n>1;
si dovrebbe concludere facilmente, o no??
ps: non ho letto i post precedenti e me ne scuso...
In questo caso per dimostrarlo proverei ad utilizzare il seguente lemma:
- $R^n$\(n° numerabile di punti) è connesso per archi se n>1;
si dovrebbe concludere facilmente, o no??
ps: non ho letto i post precedenti e me ne scuso...
Anzitutto vorrei scusarmi per due imprecisoni: è vero, il caso di interesse è il caso $n>1$, che esclude bordi finiti o al più numerabili.
Poi vorrei anche precisare a Kroldar che aveva ragione; se $A$ è un aperto non vuoto e non denso, allora il complementare della chiusura di $A$ è un aperto non vuoto per ipotesi, e quindi contiene anch'esso una palla, anche se per la dimostrazione questo fatto è inessenziale.
L'idea delle linee va bene, quello che avevo in mente io è prendere una palla dentro $A$ e tracciare le generatrici del cono di vertice $x$ (punto esterno alla chiusura di $A$) e tangente alla palla data. Allora tutte le rette da $x$ dentro il cono partono da un punto di $A$, si incontrano solo in $x$ esterno alla chiusura di $A$...
Non ho capito poi la dimostrazione di Thomas.
Poi vorrei anche precisare a Kroldar che aveva ragione; se $A$ è un aperto non vuoto e non denso, allora il complementare della chiusura di $A$ è un aperto non vuoto per ipotesi, e quindi contiene anch'esso una palla, anche se per la dimostrazione questo fatto è inessenziale.
L'idea delle linee va bene, quello che avevo in mente io è prendere una palla dentro $A$ e tracciare le generatrici del cono di vertice $x$ (punto esterno alla chiusura di $A$) e tangente alla palla data. Allora tutte le rette da $x$ dentro il cono partono da un punto di $A$, si incontrano solo in $x$ esterno alla chiusura di $A$...
Non ho capito poi la dimostrazione di Thomas.
Ho provato a pensare ad una soluzione di questo tipo.
Mi limito al caso di A semplicemente connesso.
In questa caso, A dovrebbe essere omeomorfo ad una sfera aperta. Giusto ?
Allora il bordo di A dovrebbe essere omeomorfo a S^(n-1) per cui ...
Può essere questa una strada praticabile ?
Saluti. Arrigo.
Mi limito al caso di A semplicemente connesso.
In questa caso, A dovrebbe essere omeomorfo ad una sfera aperta. Giusto ?
Allora il bordo di A dovrebbe essere omeomorfo a S^(n-1) per cui ...
Può essere questa una strada praticabile ?
Saluti. Arrigo.
Sì, dovrebbe funzionare, non avevo pensato a questa idea. Però rimane aperto il caso in cui $A$ non sia semplicemente connesso.
Se A non è semplicemente connesso e neppure connesso, si potrebbe prendere in considerazione una sua componente connessa, "riempirla" completamente e considerare il bordo di questo nuovo insieme ...
Magari funziona ...
ps. la topologia è sicuramente l' "anima" della matematica ...
Magari funziona ...
ps. la topologia è sicuramente l' "anima" della matematica ...
Sì, potrebbe funzionare. Bella come idea.
"Luca.Lussardi":
Anzitutto vorrei scusarmi per due imprecisoni: è vero, il caso di interesse è il caso $n>1$, che esclude bordi finiti o al più numerabili.
Poi vorrei anche precisare a Kroldar che aveva ragione; se $A$ è un aperto non vuoto e non denso, allora il complementare della chiusura di $A$ è un aperto non vuoto per ipotesi, e quindi contiene anch'esso una palla, anche se per la dimostrazione questo fatto è inessenziale.
L'idea delle linee va bene, quello che avevo in mente io è prendere una palla dentro $A$ e tracciare le generatrici del cono di vertice $x$ (punto esterno alla chiusura di $A$) e tangente alla palla data. Allora tutte le rette da $x$ dentro il cono partono da un punto di $A$, si incontrano solo in $x$ esterno alla chiusura di $A$...
Non ho capito poi la dimostrazione di Thomas.
- e quindi tu concluderesti così: tutte quelle linee incontrano il bordo (per l'hint) in punti diversi (per costruzione) e quindi questo ha la cardinalità del continuo.... è così? no perchè se no non ho capito... (probabile, visto che mi sto instupidendo notevolmente)...
- cmq io pensavo di farlo più o meno così: supporre per assurdo che il bordo fosse al più numerabile ed utilizzare il lemma per collegare un punto (qualsiasi) di A al punto x non appartenente ad A e nemmeno al suo bordo senza "passare per il bordo". Da cui l'assurdo per il tuo hint iniziale... (in sostanza il bordo è troppo bucherellato e si può attraversare).
- cosa vuol dire "semplicemente" connesso... che differenza c'è con la connessione e basta??
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