Esercizi Topologia
Salve a tutti, sto preparando l'esame di topologia e ho trovato difficoltà su questo esercizio
Sia $X$ compatto e metrico e definiamo $AA C,DsubX$ chiusi la seguente distanza
$d(C,D)=inf {d(x,y) AAxinC, AAyinD}$
Provare che $AAC,D$ chiusi, $CnnD=0 iff d(C,D)>0$
Ora io l'ho dimostrato, non mi è sembrato molto difficile, ad esempio per $rArr$ ho supposto per assurdo che $d(C,D)=0$, questo vorrebbe dire che l'inf sarebbe zero, cioè che esistono due punti $x_0inC, y_0inD$ con distanza nulla, cioè che $x_0=y_0$, cioè che quel punto sta sia in $C$ che in $D$ e quindi nella loro intersezione, ma questo è un assurdo; l'altra implicazione l'ho dimostrata in maniera analoga; ora la cosa che mi turba è che la seconda parte dell'esercizio mi chiede di provare che l'implicazione $rArr$ fallisce qualora non si supponga $X$ compatto; ma io non ho utilizzato l'ipotesi di compattezza nella mia dimostrazione; dove sbaglio? Grazie mille a tutti in anticipo
Sia $X$ compatto e metrico e definiamo $AA C,DsubX$ chiusi la seguente distanza
$d(C,D)=inf {d(x,y) AAxinC, AAyinD}$
Provare che $AAC,D$ chiusi, $CnnD=0 iff d(C,D)>0$
Ora io l'ho dimostrato, non mi è sembrato molto difficile, ad esempio per $rArr$ ho supposto per assurdo che $d(C,D)=0$, questo vorrebbe dire che l'inf sarebbe zero, cioè che esistono due punti $x_0inC, y_0inD$ con distanza nulla, cioè che $x_0=y_0$, cioè che quel punto sta sia in $C$ che in $D$ e quindi nella loro intersezione, ma questo è un assurdo; l'altra implicazione l'ho dimostrata in maniera analoga; ora la cosa che mi turba è che la seconda parte dell'esercizio mi chiede di provare che l'implicazione $rArr$ fallisce qualora non si supponga $X$ compatto; ma io non ho utilizzato l'ipotesi di compattezza nella mia dimostrazione; dove sbaglio? Grazie mille a tutti in anticipo
Risposte
c'è un errore nella scrittura, chiedo scusa, ma comunque quella distanza è definita come un inf delle distanze $AA x in C, AAy in D$
Non so se interpreto bene la tua domanda perché faccio fatica a leggere quello che hai scritto, scusami se ho capito male.
Comunque, dato uno spazio metrico M e due suoi sottoinsiemi A,B, $d(A,B)=$ inf ${d(x,y): x in A , y in B}$ non è in generale una distanza.
Comunque, dato uno spazio metrico M e due suoi sottoinsiemi A,B, $d(A,B)=$ inf ${d(x,y): x in A , y in B}$ non è in generale una distanza.
La distanza è definita così come hai scritto, l'unica osservazione è che i due sottoinsiemi $A,B$ sono chiusi nello spazio ambiente $X$; credo che così sia una distanza ben definita.
Bo. Ma se io posso avere due chiusi non uguali e con intersezione non vuota, $d(A,B)=0$ ma $A != B $. Ma allora $d$ non può essere una distanza.. Quindi cosa mi perdo?
Be, presi $C,D$ chiusi, non vuoti, con intersezione non vuota, allora $d(C,D)=0 iff$ inf ${d(x,y): xinC, yinD}=0 iff EE x_0 in C, y_0 in D$ tali che $d(x_0,y_0)=0 iff x_0=y_0 iff x_0 in CnnD$. Così dovrebbe risultare più chiaro
Prova a considerare il piano $RR^2$ privato di uno dei due assi, con la metrica indotta. Non è uno spazio compatto e infatti puoi trovare due insiemi chiusi disgiunti (quali?) con $d(C,D)=0$.
Nella tua dimostrazione la compattezza l'hai usata in modo implicito, nell'assumere che vi sia effettivamente un punto di $X$ la cui valutazione coincida con l'inf di quell'insieme.
Nella tua dimostrazione la compattezza l'hai usata in modo implicito, nell'assumere che vi sia effettivamente un punto di $X$ la cui valutazione coincida con l'inf di quell'insieme.
Ma abbiate pazienza, una distanza per definizione è tale che $d(x,y)=0$ SSE $x=y$. Quindi se io posso avere due chiusi diversi e con intersezione non vuota, quindi tali che $d(A,B)= 0$ con $A != B$ , quella non è una distanza..
Grazie mille Giso! Per l'esempio che mi hai fatto ho pensato anche ad $RR^2$ privato ad esempio dell'origine, e come chiusi due palle chiuse che si intersecano proprio nell'origine; hanno intersezione vuota, ma distanza uguale a zero se non sbaglio; in ogni caso grazie mille per l'aiuto!
Anche questo esempio direi che calza!
@FE hai più che ragione, quella non è una distanza, ma non mi pare sia importante per lo svolgimento. Direi che ciò che serve è solo che $d(C,D)$ sia una funzione continua
@FE hai più che ragione, quella non è una distanza, ma non mi pare sia importante per lo svolgimento. Direi che ciò che serve è solo che $d(C,D)$ sia una funzione continua
Si certo, basta saperlo. Siccome l'autore del Topic LucaSanta ha più volte detto che quella secondo lui era una distanza, e ha addirittura detto che l'ipotesi che gli insiemi fossero chiusi garantiva che fosse una distanza ben definita, volevo farlo presente. Scusa se ho usato il plurale.
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