Esercizi teorici sulla Nilpotenza delle matrici

[Baldux95]

Salve, è il mio primo post su questo forum, se ci dovesse essere qualche problema vi sarei grato di segnalarmelo.
Arriviamo al dunque, provando qualche prova d'esame m'imbatto in un vero o falso, il testo è il seguente:
Se A e B sono due matrici nilpotenti reali di ordine 2, è vero o falso che A + B è sempre nilpotente?
L'altra domanda invece :
Se A + B è nilpotente è vero o falso che AB = BA?
Il significato di Matrice nilpotente la conosco, ma per dimostrare che siano vero o falso non so da dove partire, chiedo soltanto un aiuto per capire da dove partire, non pretendo la soluzione completa, vi ringrazio in anticipo!

[vict85]

Nel secondo stai ancora supponendo che siano 2x2?

[Baldux95]

Sisi sempre 2x2

[vict85]

Nota che il secondo implica il primo (vale in situazioni più generali), quindi contrastare il primo equivale a contrastarli entrambi.

Nota che \(\displaystyle N - n_{12}J \) dove \(\displaystyle J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) manda selettivamente a zero il valore \(\displaystyle n_{12} \) della matrice \(\displaystyle N \). A questo punto devi solo dimostrare che quel valore non può essere zero a meno che la matrice non sia uguale a 0.