Esercizi sui sottospazi
Ciao a tutti dopo essermi complicato ieri la vita con le basi oggi sono passato ai sottoinsiemi , teoricamente ho tutto chiaro per quanto riguarda le caratteristiche di un sottoinsieme ma quando praticamente devo verificare se un determinato sistema è un sottoinsieme non so comem procedere
$ w_1={x,y,z) in R^3 : x=y=z }$
da come ho capito sommando questi tre elementi con altri elementi dovrei ottenere un elemento che soddisfa x=y=z (ma praticamente non so come svolgerlo ) e lo stesso devo verificarlo per l'operazione esterna
un altro
$w_5={[x,x+1,x+2) , x in R}$
qualcuno piu difficile per capire meglio come svolgerli
$ w_6={(x,y,z) in R^3 : y=x^3}$
grazie in anticipo
$ w_1={x,y,z) in R^3 : x=y=z }$
da come ho capito sommando questi tre elementi con altri elementi dovrei ottenere un elemento che soddisfa x=y=z (ma praticamente non so come svolgerlo ) e lo stesso devo verificarlo per l'operazione esterna
un altro
$w_5={[x,x+1,x+2) , x in R}$
qualcuno piu difficile per capire meglio come svolgerli
$ w_6={(x,y,z) in R^3 : y=x^3}$
grazie in anticipo
Risposte
Praticamente vuoi verificare che sommando due vettori di questo insieme ottieni ancora un vettore di questo insieme? (cioè che è una legge interna)
"leev":
Praticamente vuoi verificare che sommando due vettori di questo insieme ottieni ancora un vettore di questo insieme? (cioè che è una legge interna)
si ma vorrei sapere praticamente come si fa
"fed27":
Ciao a tutti dopo essermi complicato ieri la vita con le basi oggi sono passato ai sottoinsiemi , teoricamente ho tutto chiaro per quanto riguarda le caratteristiche di un sottoinsieme ma quando praticamente devo verificare se un determinato sistema è un sottoinsieme non so comem procedere
$ w_1={x,y,z) in R^3 : se x=y=z }$
da come ho capito sommando questi tre vettori con altri vettori dovrei ottenere un elemento che soddisfa x=y=z (ma praticamente non so come svolgerlo ) e lo stesso devo verificarlo per l'operazione esterna
un altro
$w_5={[x,x+1,x+2) , x in R}$
qualcuno piu difficile per capire meglio come svolgerli
$ w_6={(x,y,z) in R^3 : y=x^3}$
grazie in anticipo
hai scritto: 'sommando questi tre vettori......' ma dove stanno questi tre vettori? e poi 'verificare se un determinato sistema è un sottoinsieme'...Ma forse vuoi dire se un determinato sistema è un sottospazio che è diverso da un sottoinsieme qualsiasi!
"Enrico84":
[quote="fed27"]Ciao a tutti dopo essermi complicato ieri la vita con le basi oggi sono passato ai sottoinsiemi , teoricamente ho tutto chiaro per quanto riguarda le caratteristiche di un sottoinsieme ma quando praticamente devo verificare se un determinato sistema è un sottoinsieme non so comem procedere
$ w_1={x,y,z) in R^3 : se x=y=z }$
da come ho capito sommando questi tre vettori con altri vettori dovrei ottenere un elemento che soddisfa x=y=z (ma praticamente non so come svolgerlo ) e lo stesso devo verificarlo per l'operazione esterna
un altro
$w_5={[x,x+1,x+2) , x in R}$
qualcuno piu difficile per capire meglio come svolgerli
$ w_6={(x,y,z) in R^3 : y=x^3}$
grazie in anticipo
hai scritto: 'sommando questi tre vettori......' ma dove stanno questi tre vettori? e poi 'verificare se un determinato sistema è un sottoinsieme'...Ma forse vuoi dire se un determinato sistema è un sottospazio che è diverso da un sottoinsieme qualsiasi![/quote]
si scusa un lapsus un sottospazio , quindi come lo verifico?
per il primo puoi scrivere una combinazione lineare di due vettori di $w_1$ in questo modo: a(x,x,x)+b(y,y,y)=(ax+by,ax+by,ax+by) con a,b numeri reali; quest'ultimo vettore ha tutte e 3 le componenti uguali, quindi $w_1$ è un sottospazio vettoriale
"Enrico84":
per il primo puoi scrivere una combinazione lineare di due vettori di $w_1$ in questo modo: a(x,x,x)+b(y,y,y)=(ax+by,ax+by,ax+by) con a,b numeri reali; quest'ultimo vettore ha tutte e 3 le componenti uguali, quindi $w_1$ è un sottospazio vettoriale
mentre per gli altri esempi come per il terzo la componente di x deve cubica rispetto y?
si, ma devi sempre verificare come ho fatto prima!
Considera il primo caso , cioè $W_1$ da verificare che sia veramente sottospazio di$ RR^3 $ , essendo $w_1 =((x,y,z) in RR^3 | x=y=z ) $ . Caratteristica di questo insieme ( non posso ancora chiamarlo sottospazio perchè non so se lo sia ) è di avere le tre componenti uguali.
Se lo fosse allora
* la somma tra due elementi qualunque di questo insieme deve dare ancora un elemento appartenente a questo insieme
* ed anche il prodotto di qualunque elemento dell'insieme per qualunque numero reale deve essere un elemento dell'insieme.
Se così fosse allora $ W_1 $ è un sottospazio di $RR^3$.
Verifichiamo , considero due vettori dell'insieme
$w_a =(x_1,x_1,x_1 )$ ; le tre componenti sono uguali
$ w_b =(x_2,x_2,x_2 ) $ ; le tre componenti sono uguali.
Adesso calcolo il vettore somma $w_(a+b) =(x_1+x_2,x_1+x_2,x_1+x_2 ) $ Appartiene a $W_1 $ ? sì perchè le tre componenti sono uguali tra loro .
Ma non basta devo anche considerare il prodotto esterno tra un numero reale qualunque($lambda) $ e un vettore dell'insieme $W_1 $ e ottengo :
$lambda*w_a = ( lambda*x_1,lambda*x_1,lambda*x_1 )$ .Appartiene a $W_1 $ ? Sì perchè le tre componenti sono uguali tra loro .
Quindi $W_1 $ è sottospazio di $RR ^3 $. ed ha dimensione $= 1 $
Nell'esempio 2 invece ...
Se lo fosse allora
* la somma tra due elementi qualunque di questo insieme deve dare ancora un elemento appartenente a questo insieme
* ed anche il prodotto di qualunque elemento dell'insieme per qualunque numero reale deve essere un elemento dell'insieme.
Se così fosse allora $ W_1 $ è un sottospazio di $RR^3$.
Verifichiamo , considero due vettori dell'insieme
$w_a =(x_1,x_1,x_1 )$ ; le tre componenti sono uguali
$ w_b =(x_2,x_2,x_2 ) $ ; le tre componenti sono uguali.
Adesso calcolo il vettore somma $w_(a+b) =(x_1+x_2,x_1+x_2,x_1+x_2 ) $ Appartiene a $W_1 $ ? sì perchè le tre componenti sono uguali tra loro .
Ma non basta devo anche considerare il prodotto esterno tra un numero reale qualunque($lambda) $ e un vettore dell'insieme $W_1 $ e ottengo :
$lambda*w_a = ( lambda*x_1,lambda*x_1,lambda*x_1 )$ .Appartiene a $W_1 $ ? Sì perchè le tre componenti sono uguali tra loro .
Quindi $W_1 $ è sottospazio di $RR ^3 $. ed ha dimensione $= 1 $
Nell'esempio 2 invece ...
capito se potessi vedere svolto anche il terzo sarebbe l'ideale
devi scrivere $a(x,x^3,z)+b(.......$
@ Camillo
guarda che non c'è bisogno di verificare il prodotto esterno; infatti è più semplice scrivere una combinazione lineare di due vettori a coefficienti a,b in R e cioè se verifico che il vettore a( )+b( ) appartiene all'insieme, allora posso scegliere b=0 ed ottengo che a( ) appartiene all'insieme (la verifica del prodotto esterno è già inclusa in quella verifica)
guarda che non c'è bisogno di verificare il prodotto esterno; infatti è più semplice scrivere una combinazione lineare di due vettori a coefficienti a,b in R e cioè se verifico che il vettore a( )+b( ) appartiene all'insieme, allora posso scegliere b=0 ed ottengo che a( ) appartiene all'insieme (la verifica del prodotto esterno è già inclusa in quella verifica)
@ fed27
prova a fare il terzo tu, devi scrivere una combinazione lineare di due vettori di quell'insieme (devi tener conto che $y=x^3$)
prova a fare il terzo tu, devi scrivere una combinazione lineare di due vettori di quell'insieme (devi tener conto che $y=x^3$)
"Enrico84":
@ Camillo
guarda che non c'è bisogno di verificare il prodotto esterno; infatti è più semplice scrivere una combinazione lineare di due vettori a coefficienti a,b in R e cioè se verifico che il vettore a( )+b( ) appartiene all'insieme, allora posso scegliere b=0 ed ottengo che a( ) appartiene all'insieme (la verifica del prodotto esterno è già inclusa in quella verifica)
Certamente , ma a me sembra più semplice a livello didattico dividere in due parti autonome la verifica da fare
So( per esperienza ) che questi concetti all'inizio risultano piuttosto ostici e quindi cerco di suggerire la strada (IMHO) più agevole .
"Enrico84":
devi scrivere $a(x,x^3,z)+b(.......$
$a(x,x^3,z)+b(x,x^3,z)=(ax+bx,ax^3+bx^3,az+bz)$ fatto questo devo vedere se le componenti sono le stesse , ma dovrei avere che $(ax+bx)^3 $ o sbaglio?
devi vedere se le componenti sono le stesse!!!!! Le stesse di chi , scusami??? Intanto non puoi scegliere lo stesso vettore ....+$b(x,x^3,x)$, lo hai già scelto prima quando hai scritto a(.....), e poi facendo la somma devi vedere se la prima e la seconda componente sono nella relazione richiesta.
"Enrico84":
devi vedere se le componenti sono le stesse!!!!! Le stesse di chi , scusami??? Intanto non puoi scegliere lo stesso vettore ....+$b(x,x^3,x)$, lo hai già scelto prima quando hai scritto a(.....), e poi facendo la somma devi vedere se la prima e la seconda componente sono nella relazione richiesta.
ok
no pensavo di aver capito ma non risco ad applicare la teoria agli esercizi
per esempio $h_1= {(x,y) in R^2 : y=x^2}$
prendo$ w_1= (ax,ay)$
$w_2=(bx,by)$
la somma è $w=(x(a+b) , (a+b)y)$ non è sottospazio perche non risponde a $ y=x^2$
sono questi i procedimenti?
scusate ancora ma non ho il libro per adesso solo gli appunti della prof
per esempio $h_1= {(x,y) in R^2 : y=x^2}$
prendo$ w_1= (ax,ay)$
$w_2=(bx,by)$
la somma è $w=(x(a+b) , (a+b)y)$ non è sottospazio perche non risponde a $ y=x^2$
sono questi i procedimenti?
scusate ancora ma non ho il libro per adesso solo gli appunti della prof
no! ti ho detto devi prendere due vettori diversi, e poi perchè non utilizzi la relazione che hai?? $y=x^2$ scrivi il primo vettore come $(ax,ax^2)$ e l'altro diverso
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