Esercizi su un endomorfismo
Buonasera,
vorrei proporvi il seguente esercizio articolato in più punti, alcuni dei quali non mi sono affatto chiari:
Sia $f:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito da $f"("(x,y,z,t)")"=(-2x+3y, 4x-6y-2z+t,10z-5t,2z-t)$:
1)Determinare una base e la dimensione di $Ker(f)$ ed $Im(f)$. Completare la base scelta in $Im(f)$ a base di $RR^4$;
2)Posto $U={(x,y,z,t):2x+9y-3z=0,2x+3t=0}$, determinare una base e la dimensione dei sottospazi di $RR^4$ $Im(f)nnU e Im(f)+U$;
3)Determinare la controimmagine del vettore $v=(0,8,4h,h+2)$ al variare del parametro reale $h$;
4)Trovare, se esistono, i valori del parametro $h$ per i quali $[e_1-e_2,3e_1+e_4,v,e_3]$ sia una base di $RR^4$, essendo $\epsilon = (e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonica di $RR^4$;
5)Indicata con $A$ la matrice $M_(\epsilon\epsilon)(f)$ associata ad $f$ rispetto alla base canonica, stabilire se $A$ risulta diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare una matrice $P$ diagonalizzante e la corrispondente matrice diagonale $D$ alla quale $A$ risulta essere simile;
Per quanto riguarda il primo punto, non ci sono dubbi: calcolo il rango della matrice associata all'endomorfismo:
$rk((-2,3,0,0),(4,-6,-2,1),(0,0,10,-5),(0,0,2,-1))=2$
da cui ottengo $dim(Ker(f))=n-rk(A)=2$ e $B_(Ker(f))={(1,1/3,0,0),(0,0,1,2)}$ ottenuta risolvendo il sistema lineare associato con due parametri. Inoltre, $dim(Im(f))=rk(A)=2$ e $B_(Im(f))={(-2,3,0,0),(4,-6,-2,1)}$. Per completare quest'ultima a base di di $RR^4$ basta aggiungervi i seguenti vettori della base canonica di $RR^4$: $(0,1,0,0),(0,0,1,0)$.
Invece, in merito al secondo punto, si ottiene $B_(Im(f)nnU)$ estraendo una base dal seguente sistema lineare:
$\{(-2x+3y=0),(4x-6y-2z+t=0),(2z-t=0),(2x+9y-3z=0),(2x+3t=0):}$
come fatto precedentemente per $B_(Im(f))$;
$B_(Im(f)+U)$ è ottenibile invece estraendo una base dal sistema di generatori $B_(Im(f))+B_U$, dico bene?
Non mi soffermo sul quarto perché piuttosto banale.
Ho invece grosse difficoltà a comprendere il 3 ed il 5. Suggerimenti?
Grazie in anticipo!
vorrei proporvi il seguente esercizio articolato in più punti, alcuni dei quali non mi sono affatto chiari:
Sia $f:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito da $f"("(x,y,z,t)")"=(-2x+3y, 4x-6y-2z+t,10z-5t,2z-t)$:
1)Determinare una base e la dimensione di $Ker(f)$ ed $Im(f)$. Completare la base scelta in $Im(f)$ a base di $RR^4$;
2)Posto $U={(x,y,z,t):2x+9y-3z=0,2x+3t=0}$, determinare una base e la dimensione dei sottospazi di $RR^4$ $Im(f)nnU e Im(f)+U$;
3)Determinare la controimmagine del vettore $v=(0,8,4h,h+2)$ al variare del parametro reale $h$;
4)Trovare, se esistono, i valori del parametro $h$ per i quali $[e_1-e_2,3e_1+e_4,v,e_3]$ sia una base di $RR^4$, essendo $\epsilon = (e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonica di $RR^4$;
5)Indicata con $A$ la matrice $M_(\epsilon\epsilon)(f)$ associata ad $f$ rispetto alla base canonica, stabilire se $A$ risulta diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare una matrice $P$ diagonalizzante e la corrispondente matrice diagonale $D$ alla quale $A$ risulta essere simile;
Per quanto riguarda il primo punto, non ci sono dubbi: calcolo il rango della matrice associata all'endomorfismo:
$rk((-2,3,0,0),(4,-6,-2,1),(0,0,10,-5),(0,0,2,-1))=2$
da cui ottengo $dim(Ker(f))=n-rk(A)=2$ e $B_(Ker(f))={(1,1/3,0,0),(0,0,1,2)}$ ottenuta risolvendo il sistema lineare associato con due parametri. Inoltre, $dim(Im(f))=rk(A)=2$ e $B_(Im(f))={(-2,3,0,0),(4,-6,-2,1)}$. Per completare quest'ultima a base di di $RR^4$ basta aggiungervi i seguenti vettori della base canonica di $RR^4$: $(0,1,0,0),(0,0,1,0)$.
Invece, in merito al secondo punto, si ottiene $B_(Im(f)nnU)$ estraendo una base dal seguente sistema lineare:
$\{(-2x+3y=0),(4x-6y-2z+t=0),(2z-t=0),(2x+9y-3z=0),(2x+3t=0):}$
come fatto precedentemente per $B_(Im(f))$;
$B_(Im(f)+U)$ è ottenibile invece estraendo una base dal sistema di generatori $B_(Im(f))+B_U$, dico bene?
Non mi soffermo sul quarto perché piuttosto banale.
Ho invece grosse difficoltà a comprendere il 3 ed il 5. Suggerimenti?
Grazie in anticipo!
Risposte
Errore mio, nella fretta ho confuso il determinante con il rango. Correggo subito.
Innanzitutto ti ringrazio per il tempo che mi stai dedicando. C'è però qualche incomprensione:
ho notato che ho commesso un altro errore di battitura: ho inserito una virgola non voluta nella prima equazione dell'endomorfismo $-2x+3y$. Ho corretto; essendo il post piuttosto lungo ho scritto con fretta, mi scuso per questi errori.
Ad ogni modo, per quanto riguarda il nucelo, ho commesso un mero errore di calcolo:
Per il teorema di Rouché-Capelli, il seguente sistema lineare ammette due soluzioni:
$\{(-2x+3y=0),(4x-6y-2z+t=0),(10z-5t=0),(2z-t=0):}$
Pertanto, essendo quattro le variabili, pongo $x=\alpha$ e $z=\beta$, da cui si ha:
$\{(x=\alpha),(z=\beta),(y=2/3\alpha),(t=2\beta):}$ [Avevo erronamente calcolato $y=1/3\alpha$].
Per tanto, il primo vettore della base del nucleo è $(1,2/3,0,0)$.
Per quanto invece riguarda l'immagine, se il rango della matrice è $2$, allora sono $2$ i vettori linearmente indipendenti che posso estrarre dal sistema per costruirne una base, ho preso rispettivamente la prima e la seconda riga. Qui non vedo l'errore.
ho notato che ho commesso un altro errore di battitura: ho inserito una virgola non voluta nella prima equazione dell'endomorfismo $-2x+3y$. Ho corretto; essendo il post piuttosto lungo ho scritto con fretta, mi scuso per questi errori.
Ad ogni modo, per quanto riguarda il nucelo, ho commesso un mero errore di calcolo:
Per il teorema di Rouché-Capelli, il seguente sistema lineare ammette due soluzioni:
$\{(-2x+3y=0),(4x-6y-2z+t=0),(10z-5t=0),(2z-t=0):}$
Pertanto, essendo quattro le variabili, pongo $x=\alpha$ e $z=\beta$, da cui si ha:
$\{(x=\alpha),(z=\beta),(y=2/3\alpha),(t=2\beta):}$ [Avevo erronamente calcolato $y=1/3\alpha$].
Per tanto, il primo vettore della base del nucleo è $(1,2/3,0,0)$.
Per quanto invece riguarda l'immagine, se il rango della matrice è $2$, allora sono $2$ i vettori linearmente indipendenti che posso estrarre dal sistema per costruirne una base, ho preso rispettivamente la prima e la seconda riga. Qui non vedo l'errore.
"arnett":
Il sistema $Ax=0$ non ammette due soluzioni, ne ammette un'infinità dipendente da due parametri. Ora la base del nucleo va bene.
Chiaramente il sistema ne ammette $infty^2$, scusami per l'errore.
Per quanto riguarda l'immagine, se ho capito dove sbaglio, dovrei estrarre una base dal sistema di generatori dato dalle colonne della matrice associata all'endomorfismo, giusto? Quindi dovrebbe essere $B_(Im(f))={(3,-6,0,0),(0,-2,10,2)}$, dico bene?
In effetti il concetto di base di intersezione e somma non mi è chiarissimo.
Da quel che ho capito, per quanto riguarda l'intersezione, metto a sistema le equazioni cartesiane del sottospazio $U$ con quelle dell'endomorfismo, risolvo il sistema con il teorema di Rouché-Capelli ed estraggo una base. Invece, per la somma, estraggo una base dalla matrice le cui colonne sono i vettori di $B_(Im(f))$ e $B_U$, in sostanza dal sistema di generatori ottenuto unendo le due basi. Dico bene?
Da quel che ho capito, per quanto riguarda l'intersezione, metto a sistema le equazioni cartesiane del sottospazio $U$ con quelle dell'endomorfismo, risolvo il sistema con il teorema di Rouché-Capelli ed estraggo una base. Invece, per la somma, estraggo una base dalla matrice le cui colonne sono i vettori di $B_(Im(f))$ e $B_U$, in sostanza dal sistema di generatori ottenuto unendo le due basi. Dico bene?
@RP-1 Dici bene.
Però non hai completato il punto 2. Devi completare la base dell'immagine, ovvero trovare due vettori perpendicolari all'immagine.
Inoltre, scegli dei vettori semplici...per esempio i vettori della base dell'immagine puoi dividerli entrambi per 2.
Troverai che due vettori perpendicolari all'immagine (i più "semplici" possibili) sono (2,1,0,1) e (0,0,1,-5).
Da cui derivi immediatamente le equazioni cartesiane dell'immagine stessa da mettere a sistema, ovvero:
$2x+y+t=0$ e $z-5t=0$
Risolvendo il sistema avrai che l'intersezione è una retta generata dal vettore (-3,4,10,2).
Successivamente dovrai correggere il punto 3 perchè il vettore parametrico non può avere 5 componenti.
Però non hai completato il punto 2. Devi completare la base dell'immagine, ovvero trovare due vettori perpendicolari all'immagine.
Inoltre, scegli dei vettori semplici...per esempio i vettori della base dell'immagine puoi dividerli entrambi per 2.
Troverai che due vettori perpendicolari all'immagine (i più "semplici" possibili) sono (2,1,0,1) e (0,0,1,-5).
Da cui derivi immediatamente le equazioni cartesiane dell'immagine stessa da mettere a sistema, ovvero:
$2x+y+t=0$ e $z-5t=0$
Risolvendo il sistema avrai che l'intersezione è una retta generata dal vettore (-3,4,10,2).
Successivamente dovrai correggere il punto 3 perchè il vettore parametrico non può avere 5 componenti.
"Bokonon":
@RP-1 Dici bene.
Però non hai completato il punto 2. Devi completare la base dell'immagine, ovvero trovare due vettori perpendicolari all'immagine.
Inoltre, scegli dei vettori semplici...per esempio i vettori della base dell'immagine puoi dividerli entrambi per 2.
Troverai che due vettori perpendicolari all'immagine (i più "semplici" possibili) sono (2,1,0,1) e (0,0,1,-5).
Da cui derivi immediatamente le equazioni cartesiane dell'immagine stessa da mettere a sistema, ovvero:
$2x+y+t=0$ e $z-5t=0$
Risolvendo il sistema avrai che l'intersezione è una retta generata dal vettore (-3,4,10,2).
Successivamente dovrai correggere il punto 3 perchè il vettore parametrico non può avere 5 componenti.
Grazie per l'intervento, ho corretto il testo, ennesimo errore di battitura.
Per quanto riguarda il completamento di $B_(Im(f))$, ti sarei veramente grato se mi spiegassi qual è il procedimento più efficiente per trovare i vettori da aggiungere.
Solo non mi è chiaro perché derivi le equazioni cartesiane dell'immagine dai vettori utilizzati per il suo completamento. Non dovrei estrarle direttamente dalla base che ho calcolato precedentemente?
Grazie in anticipo!!
"arnett":
Qui $U$ ti è dato dal testo in equazioni cartesiane, mentre $V$ è l'immagine di $f$. Tu hai determinato poco fa l'immagine di $f$; ma non tramite equazioni cartesiane, bensì trovandone una base. Quindi ora devi trovare l'equazioni cartesiane di di \(\mathrm{Im}(f)\) e poi metterle a sistema con quelle di $U$.
Le equazioni cartesiane che tu stavi usando sono quelle di \(\mathrm{ker}(f)\), che è ben altra cosa.
Chiarissimo, ho commesso un grave errore di valutazione. Ti ringrazio per avermelo fatto notare, tra l'altro ora ho ben chiara la differenza tra base del nucleo e base dell'immagine.
Quindi dalla base canonica riuscirei in ogni caso ad estrarre i vettori lin. ind. necessari al completamento?
Grazie per la delucidazione, mi tornerà sicuramente utile. Mi sapresti dare qualche indicazione anche sul terzo punto? Non so proprio da dove iniziare...
"RP-1":
Per quanto riguarda il completamento di $B_(Im(f))$, ti sarei veramente grato se mi spiegassi qual è il procedimento più efficiente per trovare i vettori da aggiungere.
Solo non mi è chiaro perché derivi le equazioni cartesiane dell'immagine dai vettori utilizzati per il suo completamento. Non dovrei estrarle direttamente dalla base che ho calcolato precedentemente?
La base la puoi completare come ti pare e Arnett ha ragione. Però visto dopo dovresti comunque trovare le equazioni cartesiane dell'immagine, tanto vale trovare il kernel di:
$ ( ( 1 , -2 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 5 , 1 ) ) $
Le due equazioni cartesiane sono i piani perpendicolari ai due vettori del kernel, quindi sono i coefficienti di:
$ax+by+cz+dt=0$ perchè appunto sono tutti i vettori tali che $( x \ \ y \ \ z \ \ t ) ( ( a ),( b ),( c ),( d ) ) =0 $
Così risparmi tempo e fai due cose in una.
Il primo punto l'ho finito e credo che qui sia presente l'intero svolgimento. Per quanto riguarda il secondo, ho calcolato le equazioni cartesiane dell'immagine:
$\{(10x+5y+z=0),(2x+y+t=0):}$
le ho messe a sistema con quelle del sottospazio $U$ ed ho ottenuto:
$B_(UnnIm(f))=(-3/2,2,5,1)$.
In merito al terzo, invece, trovo che il sistema $Ax = v$ è compatibile se e solo se $h = -10$, per cui si ha:
$\{(-2x+3y=0),(4x-6y-2z+t=8),(10z-5t=-40),(2z-t=-8):}$
che ammette $\infty^2$ soluzioni:
$(a,-2/3a,b,2b+8)$.
Sbaglio qualcosa?
$\{(10x+5y+z=0),(2x+y+t=0):}$
le ho messe a sistema con quelle del sottospazio $U$ ed ho ottenuto:
$B_(UnnIm(f))=(-3/2,2,5,1)$.
In merito al terzo, invece, trovo che il sistema $Ax = v$ è compatibile se e solo se $h = -10$, per cui si ha:
$\{(-2x+3y=0),(4x-6y-2z+t=8),(10z-5t=-40),(2z-t=-8):}$
che ammette $\infty^2$ soluzioni:
$(a,-2/3a,b,2b+8)$.
Sbaglio qualcosa?
"RP-1":
$B_(UnnIm(f))=(-3/2,2,5,1)$.
Questa è corretta ma devi scrivere $B_(UnnIm(f))={(-3/2,2,5,1)}$ altrimenti pare che lo spazio di intersezione sia un punto invece di una retta. Inoltre puoi sempre semplificare il vettore per esempio mettendo $(-3,4,10,2)$
"RP-1":
$(a,-2/3a,b,2b+8)$.
Sbaglio qualcosa?
No, è corretta anche questa. Quindi le soluzioni, per $h=-10$, sono tutti i vettori che stanno su un piano affine.
Se invece mi fosse chiesto di esibire un vettore di $RR^4$ privo di controimmagine, senza però considerare il punto precedente, è corretto affermare che:
- tale vettore non esiste se la matrice $A$ associata all'endomorfismo ha $det!=0$ e quindi rango massimo (poiché il s.l. $Ax=v$ risulta sempre compatibile);
- coincide con un vettore linearmente indipendente da quelli che costituiscono $A$, se $det(A)=0$?
E se così fosse, come calcolerei in maniera efficiente tale vettore?
- tale vettore non esiste se la matrice $A$ associata all'endomorfismo ha $det!=0$ e quindi rango massimo (poiché il s.l. $Ax=v$ risulta sempre compatibile);
- coincide con un vettore linearmente indipendente da quelli che costituiscono $A$, se $det(A)=0$?
E se così fosse, come calcolerei in maniera efficiente tale vettore?
"RP-1":
- tale vettore non esiste se la matrice $A$ associata all'endomorfismo ha $det!=0$ e quindi rango massimo (poiché il s.l. $Ax=v$ risulta sempre compatibile);
Certo che si, sarebbe un isomorfismo. Si avrebbe una relazione biettiva, quindi perfettamente invertibile 1-1.
"RP-1":
- coincide con un vettore linearmente indipendente da quelli che costituiscono $A$, se $det(A)=0$?
E se così fosse, come calcolerei in maniera efficiente tale vettore?
Non puoi trovare un vettore privo di controimmagine.
Proviamo a ragionare così. Invece di pensare allo spazio di partenza rispetto alla base canonica, cambiamogli la base sfruttando la matrice associata all'applicazione $ F=( ( -2 , 3 , 0 , 0 ),( 4 , -6 , -2 , 1 ),( 0 , 0 , 10 , -5 ),( 0 , 0 , 2 , -1 ) ) $
Lo spazio generato dalle righe + il kernel sono un'ottima base per comprendere cosa fa l'applicazione in se.
F ha rango 2 e così la sua trasposta, quindi prendiamo due vettori indipendenti come la prima e la quarta riga. Esse sono una base dello spazio delle righe e generano un piano in $RR^4$
Poi prendiamo il kernel che è perpendicolare allo spazio delle righe, quindi sono in somma diretta.
$ B={r_1,r_2,k_1,k_2}={( ( -2 ),( 3 ),( 0 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 2 ),( -1 ) ),( ( 3 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 2 ) ) } $
B è un'ottima base per lo spazio di partenza e ci permette di "vedere" chiaramente cosa accade.
Prendiamo il vettore generico $alphar_1+betar_2$. F manda ogni singolo vettore dello spazio delle righe, (ovvero un piano) nell'immagine (un altro piano).
I vettori $gammak_1+muk_2$ sono tutti ortogonali allo spazio delle righe, quindi F manda queste comb. lineari nell'immagine ma tutti nel medesimo punto (0,0,0,0).
Infine, in generale, tutti i vettori dello spazio di partenza $RR^4$ sono comb.lineari $alphar_1+betar_2+gammak_1+muk_2$ dove vanno?
$F*(alphar_1+betar_2+gammak_1+muk_2)=F*(alphar_1+betar_2)$
Di nuovo le componenti che appartengono al kernel vanno in (0,0,0,0) e il resto finisce nell'immagine.
Quindi ci sono infiniti vettori dello spazio di partenza che finiscono nel medesimo punto dell'immagine.
Possiamo "rimappare indietro" i vettori del piano dell'immagine con i vettori del piano dello spazio delle righe, mentre l'informazione su tutti gli altri vettori è andata "persa" visto che sono finiti tutti nell'origine dell'immagine. Il tutto diventa ancora più evidente se considerassimo $ F=( ( -2 , 3 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , -1 ) ) $
Ovvero un'applicazione iniettiva da $RR^4$ in $RR^2$ quindi ha pseudoinversa destra.
Tutti i vettori dello spazio delle righe di F vengono spediti in $RR^2$.
Per avere una visione geometrica completa (the big picture) ti consiglio di guardare questa lezione di Strang.
https://youtu.be/nHlE7EgJFds
Scusa, sicuramente mi starò perdendo in un bicchier d'acqua, ma non riesco a capire.
La controimmagine di un generico vettore $v$ coincide con la soluzione del sistema $Ax = v$, pertanto la mia idea è quella di cercare un vettore $v$ per il quale tale sistema risulti incompatibile. In tal caso, tal vettore non dovrebbe avere controimmagine. Dove sbaglio?
La controimmagine di un generico vettore $v$ coincide con la soluzione del sistema $Ax = v$, pertanto la mia idea è quella di cercare un vettore $v$ per il quale tale sistema risulti incompatibile. In tal caso, tal vettore non dovrebbe avere controimmagine. Dove sbaglio?
"RP-1":
La controimmagine di un generico vettore $v$ coincide con la soluzione del sistema $Ax = v$, pertanto la mia idea è quella di cercare un vettore $v$ per il quale tale sistema risulti incompatibile. In tal caso, tal vettore non dovrebbe avere controimmagine. Dove sbaglio?
Per $h!=-10$ non esiste una combinazione lineare delle colonne di F (ovvero una comb. i cui scalari sono le componenti di x) che diano il vettore v. Quindi v non sta nell'immagine..per questo motivo il sistema non ha soluzione.
Quanti vettori v non stanno nell'immagine? Infiniti. Per esempio tutti i vettori che stanno nello spazio perpendicolare all'immagine. Ma non capisco cosa ci sia di straordinario in tutto ciò...anche perchè lo hai dimostrato risolvendo l'esercizio.
Ed è proprio qui il mio dubbio. Un vettore che non sta nell'immagine, non ammette controimmagine, giusto? Pertanto dovrebbe corrispondere alla richiesta. Dove sbaglio?
Ti ho risposto due volte.
Considerando l'esercizio, tutti i vettori per $h!=10$ non appartengono all'immagine.
In generale invece qualsiasi combinazione lineare dei due vettori della base dell'immagine ${i_1,i_2}$ + i due vettori dello spazio perpendicolare all'immagine ${p_1,p_2}$, ovvero $ai_1+bi_2+cp_1+dp_2$ con almeno uno dei due coefficienti $c,d!=0$ non appartengono all'immagine.
Considerando l'esercizio, tutti i vettori per $h!=10$ non appartengono all'immagine.
In generale invece qualsiasi combinazione lineare dei due vettori della base dell'immagine ${i_1,i_2}$ + i due vettori dello spazio perpendicolare all'immagine ${p_1,p_2}$, ovvero $ai_1+bi_2+cp_1+dp_2$ con almeno uno dei due coefficienti $c,d!=0$ non appartengono all'immagine.
Proprio per questo ho scritto
Nel caso in cui, dato un endomorfismo, mi venisse chiesto di esibire un vettore che non ha controimmagine, è corretto il ragionamento proposto, oppure sbaglio? Inoltre, non hai risposto al mio dubbio
Formalmente è corretto ciò? Esibendo un vettore che non sta nell'immagine, sto esibendo un vettore che non ha controimmagine? Oppure sbaglio?
"RP-1":
senza però considerare il punto precedente
Nel caso in cui, dato un endomorfismo, mi venisse chiesto di esibire un vettore che non ha controimmagine, è corretto il ragionamento proposto, oppure sbaglio? Inoltre, non hai risposto al mio dubbio
"RP-1":
Un vettore che non sta nell'immagine, non ammette controimmagine, giusto?
Formalmente è corretto ciò? Esibendo un vettore che non sta nell'immagine, sto esibendo un vettore che non ha controimmagine? Oppure sbaglio?
Ma è ovvio che sia così. Le soluzioni di un sistema costituiscono l'immagine di un'applicazione.
Continuo a non capire di cosa tu ti stia sbalordendo. Quindi partendo dall'applicazione $Ax$ NON puoi trovare un'immagine che non abbia una controimmagine.
Completando invece lo spazio di arrivo puoi derivare tutti i vettori che non appartengono all'immagine (e ti ho messo un link ad un video che non hai evidentemente guardato).
In Italia ti fanno studiare solo il kernel e l'immagine di un'applicazione, Strang invece da una visione geometrica dei 4 spazi fondamentali con cui interpretare rapidamente qualsiasi applicazione lineare.
E con questo direi che usciamo dal loop.
Continuo a non capire di cosa tu ti stia sbalordendo. Quindi partendo dall'applicazione $Ax$ NON puoi trovare un'immagine che non abbia una controimmagine.
Completando invece lo spazio di arrivo puoi derivare tutti i vettori che non appartengono all'immagine (e ti ho messo un link ad un video che non hai evidentemente guardato).
In Italia ti fanno studiare solo il kernel e l'immagine di un'applicazione, Strang invece da una visione geometrica dei 4 spazi fondamentali con cui interpretare rapidamente qualsiasi applicazione lineare.
E con questo direi che usciamo dal loop.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo