Esercizi su un endomorfismo
Buonasera,
vorrei proporvi il seguente esercizio articolato in più punti, alcuni dei quali non mi sono affatto chiari:
Sia $f:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito da $f"("(x,y,z,t)")"=(-2x+3y, 4x-6y-2z+t,10z-5t,2z-t)$:
1)Determinare una base e la dimensione di $Ker(f)$ ed $Im(f)$. Completare la base scelta in $Im(f)$ a base di $RR^4$;
2)Posto $U={(x,y,z,t):2x+9y-3z=0,2x+3t=0}$, determinare una base e la dimensione dei sottospazi di $RR^4$ $Im(f)nnU e Im(f)+U$;
3)Determinare la controimmagine del vettore $v=(0,8,4h,h+2)$ al variare del parametro reale $h$;
4)Trovare, se esistono, i valori del parametro $h$ per i quali $[e_1-e_2,3e_1+e_4,v,e_3]$ sia una base di $RR^4$, essendo $\epsilon = (e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonica di $RR^4$;
5)Indicata con $A$ la matrice $M_(\epsilon\epsilon)(f)$ associata ad $f$ rispetto alla base canonica, stabilire se $A$ risulta diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare una matrice $P$ diagonalizzante e la corrispondente matrice diagonale $D$ alla quale $A$ risulta essere simile;
Per quanto riguarda il primo punto, non ci sono dubbi: calcolo il rango della matrice associata all'endomorfismo:
$rk((-2,3,0,0),(4,-6,-2,1),(0,0,10,-5),(0,0,2,-1))=2$
da cui ottengo $dim(Ker(f))=n-rk(A)=2$ e $B_(Ker(f))={(1,1/3,0,0),(0,0,1,2)}$ ottenuta risolvendo il sistema lineare associato con due parametri. Inoltre, $dim(Im(f))=rk(A)=2$ e $B_(Im(f))={(-2,3,0,0),(4,-6,-2,1)}$. Per completare quest'ultima a base di di $RR^4$ basta aggiungervi i seguenti vettori della base canonica di $RR^4$: $(0,1,0,0),(0,0,1,0)$.
Invece, in merito al secondo punto, si ottiene $B_(Im(f)nnU)$ estraendo una base dal seguente sistema lineare:
$\{(-2x+3y=0),(4x-6y-2z+t=0),(2z-t=0),(2x+9y-3z=0),(2x+3t=0):}$
come fatto precedentemente per $B_(Im(f))$;
$B_(Im(f)+U)$ è ottenibile invece estraendo una base dal sistema di generatori $B_(Im(f))+B_U$, dico bene?
Non mi soffermo sul quarto perché piuttosto banale.
Ho invece grosse difficoltà a comprendere il 3 ed il 5. Suggerimenti?
Grazie in anticipo!
vorrei proporvi il seguente esercizio articolato in più punti, alcuni dei quali non mi sono affatto chiari:
Sia $f:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito da $f"("(x,y,z,t)")"=(-2x+3y, 4x-6y-2z+t,10z-5t,2z-t)$:
1)Determinare una base e la dimensione di $Ker(f)$ ed $Im(f)$. Completare la base scelta in $Im(f)$ a base di $RR^4$;
2)Posto $U={(x,y,z,t):2x+9y-3z=0,2x+3t=0}$, determinare una base e la dimensione dei sottospazi di $RR^4$ $Im(f)nnU e Im(f)+U$;
3)Determinare la controimmagine del vettore $v=(0,8,4h,h+2)$ al variare del parametro reale $h$;
4)Trovare, se esistono, i valori del parametro $h$ per i quali $[e_1-e_2,3e_1+e_4,v,e_3]$ sia una base di $RR^4$, essendo $\epsilon = (e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonica di $RR^4$;
5)Indicata con $A$ la matrice $M_(\epsilon\epsilon)(f)$ associata ad $f$ rispetto alla base canonica, stabilire se $A$ risulta diagonalizzabile e, in caso affermativo, determinare una matrice $P$ diagonalizzante e la corrispondente matrice diagonale $D$ alla quale $A$ risulta essere simile;
Per quanto riguarda il primo punto, non ci sono dubbi: calcolo il rango della matrice associata all'endomorfismo:
$rk((-2,3,0,0),(4,-6,-2,1),(0,0,10,-5),(0,0,2,-1))=2$
da cui ottengo $dim(Ker(f))=n-rk(A)=2$ e $B_(Ker(f))={(1,1/3,0,0),(0,0,1,2)}$ ottenuta risolvendo il sistema lineare associato con due parametri. Inoltre, $dim(Im(f))=rk(A)=2$ e $B_(Im(f))={(-2,3,0,0),(4,-6,-2,1)}$. Per completare quest'ultima a base di di $RR^4$ basta aggiungervi i seguenti vettori della base canonica di $RR^4$: $(0,1,0,0),(0,0,1,0)$.
Invece, in merito al secondo punto, si ottiene $B_(Im(f)nnU)$ estraendo una base dal seguente sistema lineare:
$\{(-2x+3y=0),(4x-6y-2z+t=0),(2z-t=0),(2x+9y-3z=0),(2x+3t=0):}$
come fatto precedentemente per $B_(Im(f))$;
$B_(Im(f)+U)$ è ottenibile invece estraendo una base dal sistema di generatori $B_(Im(f))+B_U$, dico bene?
Non mi soffermo sul quarto perché piuttosto banale.
Ho invece grosse difficoltà a comprendere il 3 ed il 5. Suggerimenti?
Grazie in anticipo!
Risposte
Convengo assolutamente con te sull'importanza di comprendere profondamente un concetto matematico per poterlo applicare con criterio. Dovendo però sostenere lo scritto di algebra lineare a breve, mi sto soffermando esclusivamente sulla pratica. So bene che questa pratica sia del tutto sconsigliata, ma spesso ci si trova a dover fare il possibile per non restare indietro, soprattuto con le finestre d'esame ristrette che il mio ateneo offre. Scusami pertanto se sono sembrato eccessivamente pragmatico e mille grazie per avermi aiutato.
Ciò detto, avrei un'altra domanda sul quinto punto:
Nella costruzione della matrice diagonale simile alla matrice diagonalizzabile, c'è un ordine preciso da rispettare nel posizionare gli autovalori sulla diagonale principale, o è del tutto arbitrario? Più banalmente, la matrice dell'esercizio in questione ha tre autovalori:
$\lambda_0=0" (con "m_a(\lambda_0)=2); \lambda_1=-8; \lambda_2=9$;
come li dispongo sulla matrice diagonale simile?
Ciò detto, avrei un'altra domanda sul quinto punto:
Nella costruzione della matrice diagonale simile alla matrice diagonalizzabile, c'è un ordine preciso da rispettare nel posizionare gli autovalori sulla diagonale principale, o è del tutto arbitrario? Più banalmente, la matrice dell'esercizio in questione ha tre autovalori:
$\lambda_0=0" (con "m_a(\lambda_0)=2); \lambda_1=-8; \lambda_2=9$;
come li dispongo sulla matrice diagonale simile?
"RP-1":
Nella costruzione della matrice diagonale simile alla matrice diagonalizzabile, c'è un ordine preciso da rispettare nel posizionare gli autovalori sulla diagonale principale, o è del tutto arbitrario? Più banalmente, la matrice dell'esercizio in questione ha tre autovalori:
$\lambda_0=0" (con "m_a(\lambda_0)=2); \lambda_1=-8; \lambda_2=9$;
come li dispongo sulla matrice diagonale simile?
Come vuoi, è arbitrario.
L'unica cosa importante è la prima colonna di P sia un'autovettore per l'autovalore che metti nella prima riga/colonna della matrice D. La seconda colonna di P sia un'autovettore per l'autovalore che metti nella seconda riga/colonna della matrice D. E così via.
Prova ordini diversi e a verificare che $AP=PD$
Avrei un'altra domanda, piuttosto banale:
cosa indica la notazione $X = t(x y z)$ con t apice?
cosa indica la notazione $X = t(x y z)$ con t apice?
Se devo tirare ad indovinare il t in apice significa la trasposta.
Qualcuno lo mette in minuscolo a sinistra. Più comunemente si mette $A^T$ a destra.
Ma sarebbe meglio se tu contestualizzassi la cosa.
Qualcuno lo mette in minuscolo a sinistra. Più comunemente si mette $A^T$ a destra.
Ma sarebbe meglio se tu contestualizzassi la cosa.
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