Esercizi su Spazi Vettoriali e Basi
Salve ragazzi, vi sembrerò un pò disperato e forse in effetti è così. Penso di essere rimasto indietro ( da pirla) nella preparazione di analisi 1, e in questo argomento mi son saltati fuori dubbi( che dopo 2 giorni di studio non sono riuscito a risolvere) su 2 esercizi che "non so neanche come incominciare". Vi chiedo se potete darmi se anche non la soluzione, almeno qualche linea guida.
1)
Nello spazio vettoriale V delle matrici quadrate di ordine 2 si verifichi che il seguente sottoinsieme è spazio vettoriale
W=
{(a b) }
{(c d) : a-d=0, b-c=0 }
Determinare una base di W e un sottospazio U tale che W (+) U =V.
per (+) intendo ovviamente la somma diretta
2)
Si considerino in R3 i seguenti sottospazi vettoriali
$V={(x,y,z): 2x-y+z=0}$
W=L((1,-1,1),(0,1,0))
a) determinare V intersezione W
b) Provare che R3= V+W
c) Dare un esempio di sottospazio S di R3 tale che W (+) S =R3
Grazie in anticipo a tutti, e scusate se nn sono stato chiaro in qualche punto
P.S. Dove non ho usato la formula col dollaro è perchè nn lo scriveva come intendevo io.
1)
Nello spazio vettoriale V delle matrici quadrate di ordine 2 si verifichi che il seguente sottoinsieme è spazio vettoriale
W=
{(a b) }
{(c d) : a-d=0, b-c=0 }
Determinare una base di W e un sottospazio U tale che W (+) U =V.
per (+) intendo ovviamente la somma diretta
2)
Si considerino in R3 i seguenti sottospazi vettoriali
$V={(x,y,z): 2x-y+z=0}$
W=L((1,-1,1),(0,1,0))
a) determinare V intersezione W
b) Provare che R3= V+W
c) Dare un esempio di sottospazio S di R3 tale che W (+) S =R3
Grazie in anticipo a tutti, e scusate se nn sono stato chiaro in qualche punto
P.S. Dove non ho usato la formula col dollaro è perchè nn lo scriveva come intendevo io.
Risposte
punto 1. un certo insieme è un sottospazio vettoriale se valgono le seguenti proprietà $AA w_1,w_2 in W w_1+w_2 in W$ e $AA a in K, AA w in W a*w in W$ oppure in maniera comnpatta se $AA a_1,a_2 in K w_1,w_2 in W rArr (a_1)*(w_1)+(a_2)(w_2) in W$
nel tuo caso devi vedere l'insieme delle matrici che ha quelle proprietà: devi verificare che data una matrice generica $A=((a,b),(c,d))$ e una matrice $A'=((a',b'),(c',d'))$ la loro somma rispetta ancora quelle proprietà $a-d=0, b-c=0$ lo stesso vale per la moltiplicazione per una costante $a in K$
Per determinare una base di W devi risolvere il sistema (chiamo per comodità $a=x_1, b=x_2, c=x_3, d=x_4$ ${\(x_1-x_4=0),(x_2-x_3=0):}$ risolvi. l'insieme delle soluzioni che ho ottenuto è: ${(t_2, t_1, t_1, t_2)}_(t_1,t_2 in RR)$ si può scrivere come ${t_1(0,1,1,0),t_2(1,0,0,1)}_(t_1,t_2 in RR)$
una base per esempio potrà essere $B_W(w_1=((0,1),(1,0)) w_2=((1,0),(0,1))) rArr dim(W)=2$;
poichè $V=M_2(RR)$ $dim(V)=4$ ciò implica che la dimesione del sottospazio $U$ deve essere 2 (l'ho dedotto dalla formula di Grassmann)
per trovare una base scrivi una matrici di questo tipo: $B=((0,1,1,0,0,0),(1,0,0,1,0,0),(1,0,0,0,1,0),(0,1,0,0,0,1))$ sulle prime due colonne compaiono le mtrici base di $W$ mentre le altre 4 colonne corrispondono alle matrici elementari che costituiscono una base di $M_2(RR)$ adesso hai sei vettori estrai il numero massimo di vettori linearmente indipendenti: di questi due corrispondono alla base di W mentre altri due fanno parte delle matrici elementari: ecco queste due matrici (non so a priori quali siano) costituiscono una base di $U$ $rArr dim(U)=2$
la formula di Grassmann ci dice che la dimensione dell'intersezione dei due sottospazi vettoriali è uguale:
$dim(UnnW)=dim(U)+dim(W)-dim(U+W)$ svolgendo i calcoli ti viene che l0intersezione ha dimensione 0 allora U+W è somma diretta
nel tuo caso devi vedere l'insieme delle matrici che ha quelle proprietà: devi verificare che data una matrice generica $A=((a,b),(c,d))$ e una matrice $A'=((a',b'),(c',d'))$ la loro somma rispetta ancora quelle proprietà $a-d=0, b-c=0$ lo stesso vale per la moltiplicazione per una costante $a in K$
Per determinare una base di W devi risolvere il sistema (chiamo per comodità $a=x_1, b=x_2, c=x_3, d=x_4$ ${\(x_1-x_4=0),(x_2-x_3=0):}$ risolvi. l'insieme delle soluzioni che ho ottenuto è: ${(t_2, t_1, t_1, t_2)}_(t_1,t_2 in RR)$ si può scrivere come ${t_1(0,1,1,0),t_2(1,0,0,1)}_(t_1,t_2 in RR)$
una base per esempio potrà essere $B_W(w_1=((0,1),(1,0)) w_2=((1,0),(0,1))) rArr dim(W)=2$;
poichè $V=M_2(RR)$ $dim(V)=4$ ciò implica che la dimesione del sottospazio $U$ deve essere 2 (l'ho dedotto dalla formula di Grassmann)
per trovare una base scrivi una matrici di questo tipo: $B=((0,1,1,0,0,0),(1,0,0,1,0,0),(1,0,0,0,1,0),(0,1,0,0,0,1))$ sulle prime due colonne compaiono le mtrici base di $W$ mentre le altre 4 colonne corrispondono alle matrici elementari che costituiscono una base di $M_2(RR)$ adesso hai sei vettori estrai il numero massimo di vettori linearmente indipendenti: di questi due corrispondono alla base di W mentre altri due fanno parte delle matrici elementari: ecco queste due matrici (non so a priori quali siano) costituiscono una base di $U$ $rArr dim(U)=2$
la formula di Grassmann ci dice che la dimensione dell'intersezione dei due sottospazi vettoriali è uguale:
$dim(UnnW)=dim(U)+dim(W)-dim(U+W)$ svolgendo i calcoli ti viene che l0intersezione ha dimensione 0 allora U+W è somma diretta
Ok tutto chiaro, grazie mille.
Un dubbio per svolgere il secondo esercizio:
Per far si che la somma $V+W=R3$, come richiesto dal punto b, è sufficiente che $dim(V)+dim(W)$ dia come risultato $3$?
In tal caso per rispondere al punto c, basterebbe trovare un sottospazio la cui dimensione sia 1, visto che la dimensione di R3 è 3, la dimensione di W è 2, e la dimensione dell'intersezione W ed S deve essere 0.
$dim(R3)=dim(W)+dim(S)-dim(WnnS)$
$3=2+x-0$ ---> $x=1$
quindi la base canonica per S sarà ad esempio ${(1)}$
e quindi un sottospazio potrebbe essere ${(a):a in R}$
E' giusto il procedimento che ho svolto, oppure ho saltato qualche passaggio o dato qualcosa per vero anche se non lo è?
Inoltre non mi è ancora chiaro come rispondere al punto a)
Un dubbio per svolgere il secondo esercizio:
Per far si che la somma $V+W=R3$, come richiesto dal punto b, è sufficiente che $dim(V)+dim(W)$ dia come risultato $3$?
In tal caso per rispondere al punto c, basterebbe trovare un sottospazio la cui dimensione sia 1, visto che la dimensione di R3 è 3, la dimensione di W è 2, e la dimensione dell'intersezione W ed S deve essere 0.
$dim(R3)=dim(W)+dim(S)-dim(WnnS)$
$3=2+x-0$ ---> $x=1$
quindi la base canonica per S sarà ad esempio ${(1)}$
e quindi un sottospazio potrebbe essere ${(a):a in R}$
E' giusto il procedimento che ho svolto, oppure ho saltato qualche passaggio o dato qualcosa per vero anche se non lo è?
Inoltre non mi è ancora chiaro come rispondere al punto a)
si per il secondo esercizio hai ragione:
per quanto riguarda il punto a: io direi di mettere brutalmente a sistema le equazioni cartesiane dei due sottospazi vettoriali (attento a ricavare quelle del sottospazio vettoriale W in quanto conosci solo la base ma puoi ricavarti facilmente le cartesiane). risolvendo il sistema trovi le condizioni di appartenenza a W e V e quindi puoi trovare un a bse di tale intersezione.
per quanto riguarda il punto a: io direi di mettere brutalmente a sistema le equazioni cartesiane dei due sottospazi vettoriali (attento a ricavare quelle del sottospazio vettoriale W in quanto conosci solo la base ma puoi ricavarti facilmente le cartesiane). risolvendo il sistema trovi le condizioni di appartenenza a W e V e quindi puoi trovare un a bse di tale intersezione.
Per valerio cavolaccio ,a me va bene il tuo metodo ma solo ke nn riesko a kapire kome trasformare la base di L(s) nelle rispettive equazioni ,la mia prof ha usato le matrici e il teorema degli orlati mi potresti dare una mano?
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