Esercizi su spazi e sottospazi vettoriali
Salve a tutti!
Dopo aver studiato il capitolo riguardante gli spazi e i sottospazi vettoriali, ho cercato di svolgere qualche esercizio ma incontro una certa difficoltà a passare dalla teoria alla pratica perché non so praticamente da dove iniziare.
La traccia del primo esercizio è la seguente:
Sia $A$ un angolo di vertice $L$, e sia $A_L$ l'insieme dei vettori di $V_L$ giacenti in $A$. Si dica quali delle proprietà degli spazi vettoriali siano verificate da $A_L$.
La seconda traccia è la seguente:
In $RR^5$ si ponga:
$ H: {\(x_1 - 3x_2 + x_3 - 5x_4 + x_5 = 0), (5x_1 + 4x_2 - x_3 - x_4 + 2x_5 =0):} $
$ G: {\(x_1 + 3x_3 + 4x_5 = 1), (x_2 + 4x_4 - x_5 = 0):} $;
si dica se $H$ o $G$ siano sottospazi di $RR^5$
Come posso procedere? Ho cercato ad impostare entrambi ma non so proprio da dove cominciare. Aspetto vostri consigli.
Grazie a tutti in anticipo! [xdom="Martino"]Ho spostato in Algebra Lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/xdom]
Dopo aver studiato il capitolo riguardante gli spazi e i sottospazi vettoriali, ho cercato di svolgere qualche esercizio ma incontro una certa difficoltà a passare dalla teoria alla pratica perché non so praticamente da dove iniziare.
La traccia del primo esercizio è la seguente:
Sia $A$ un angolo di vertice $L$, e sia $A_L$ l'insieme dei vettori di $V_L$ giacenti in $A$. Si dica quali delle proprietà degli spazi vettoriali siano verificate da $A_L$.
La seconda traccia è la seguente:
In $RR^5$ si ponga:
$ H: {\(x_1 - 3x_2 + x_3 - 5x_4 + x_5 = 0), (5x_1 + 4x_2 - x_3 - x_4 + 2x_5 =0):} $
$ G: {\(x_1 + 3x_3 + 4x_5 = 1), (x_2 + 4x_4 - x_5 = 0):} $;
si dica se $H$ o $G$ siano sottospazi di $RR^5$
Come posso procedere? Ho cercato ad impostare entrambi ma non so proprio da dove cominciare. Aspetto vostri consigli.
Grazie a tutti in anticipo! [xdom="Martino"]Ho spostato in Algebra Lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/xdom]
Risposte
Ciao Daniele. In questi esercizi si tratta semplicemente di applicare la definizione. Ti invito ad usare la funzione di ricerca nel forum perché ci sono centinaia di topic uguali a questo. Credo che sia più didattico che dirti semplicemente la situazione. Se, fatto questo, ti troverai ancora in difficoltà, scrivi pure in questo topic.
Paola
Paola
Ciao Daniele 
un suggerimento per l'insieme $G$: una "conseguenza" della definizione di sottospazio vettoriale di uno spazio $V$ (che nel tuo caso $\equiv RR^5$) è che, per poter essere tale, un insieme deve avere il vettore nullo (di $V$) tra i suoi elementi.
Nel caso di $G$, vedi subito che $(0,...,0)$ non soddisfa entrambe le equazioni, per cui...
un suggerimento per l'insieme $G$: una "conseguenza" della definizione di sottospazio vettoriale di uno spazio $V$ (che nel tuo caso $\equiv RR^5$) è che, per poter essere tale, un insieme deve avere il vettore nullo (di $V$) tra i suoi elementi. Nel caso di $G$, vedi subito che $(0,...,0)$ non soddisfa entrambe le equazioni, per cui...
Avevo già capito che bisogna applicare le proprietà ma non riesco a capire come iniziare. Ho ricercato sul forum ma non mi pare di aver trovato alcun esercizio simile al mio...
Non è questione di impegno.
Salve a tutti!Stavo svolgendo esercizi simili a quello di Daniele, ma avrei qualche dubbio a riguardo. Faccio riferimento al suo secondo esercizio in modo da non distaccarmi da questa discussione. La mia domanda è la seguente: per verificare che $H$ e $G$ siano sottospazi devo verificare l'esistenza del vettore nullo e le due operazioni di somma e prodotto per scalare. Per quanto riguarda $H$, posso considerare quelle due equazioni come somma di 5 vettori con componenti $(1,5,0,0,0), (-3,4,0,0,0), (+1,-1,0,0,0), (-5,-1,0,0,0), (1,2,0,0,0)$? Se si, dovrei procedere con la verifica delle condizioni:
- esistenza del vettore nullo: se sommo le componenti dei vettori (ad es. $1-3+1-5+1$ ) dovrei ottenere il risultato $0$, tendendo presente le equazioni, ma ciò non avviene, in quanto la somma è $-5$ e quindi posso affermare che non è un sottospazio?
Grazie per le eventuali risposte..
- esistenza del vettore nullo: se sommo le componenti dei vettori (ad es. $1-3+1-5+1$ ) dovrei ottenere il risultato $0$, tendendo presente le equazioni, ma ciò non avviene, in quanto la somma è $-5$ e quindi posso affermare che non è un sottospazio?
Grazie per le eventuali risposte..
nessuno può aiutarmi?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo