Esercizi Spazi Vettoriali e Applicazioni Lineari
Ragazzi voglio proporvi qualche esercizio sugli spazi vettoriali sperando che possiate colmare delle mie personali lacune che ho in merito a questo argomento e a quello delle applicazioni lineari.
Allora siano:
$U ={(x,y,z,t) | 2x + y =0}
$W = {(x,y,z,t) | x + z + t =0}
due sottospazi di $RR^4
Calcolare la dimensione di $U + W
Ecco come inizio a ragionare io:
Per la relazione di Grassman si ha che: $dim(U+W) + dim(U nn W) = dim(U) + dim(W)$ e da ciò deriva che $dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U nn W)$
Pertanto imposto il sistema per calcolare $dim(U nn W)$, cioè:
$\{(2x + y =0),(x+z+t=0):}$ dal quale possiamo trovare una soluzione uguale a: $(-k-h,2k+2h,k,h)$ con $k,h in RR$ dalla quale possiamo trovare due basi, ad esempio: $v=(-1,2,1,0)$ e $w=(-1,2,0,1)$ che sono l.i. e pertanto una base è formata da questi due vettori, quindi $dim(U nn W) = 2$
Ma come si calcola la dimensione singola di $U$ e $W$ ? Sono le soluzioni singole delle due equazioni lineari, ovvero dal momento che entrambe includono 4 parametri e si ha che le soluzioni sono $oo^(4-1)$ la loro dimensione è 4-1=3?
Allora siano:
$U ={(x,y,z,t) | 2x + y =0}
$W = {(x,y,z,t) | x + z + t =0}
due sottospazi di $RR^4
Calcolare la dimensione di $U + W
Ecco come inizio a ragionare io:
Per la relazione di Grassman si ha che: $dim(U+W) + dim(U nn W) = dim(U) + dim(W)$ e da ciò deriva che $dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U nn W)$
Pertanto imposto il sistema per calcolare $dim(U nn W)$, cioè:
$\{(2x + y =0),(x+z+t=0):}$ dal quale possiamo trovare una soluzione uguale a: $(-k-h,2k+2h,k,h)$ con $k,h in RR$ dalla quale possiamo trovare due basi, ad esempio: $v=(-1,2,1,0)$ e $w=(-1,2,0,1)$ che sono l.i. e pertanto una base è formata da questi due vettori, quindi $dim(U nn W) = 2$
Ma come si calcola la dimensione singola di $U$ e $W$ ? Sono le soluzioni singole delle due equazioni lineari, ovvero dal momento che entrambe includono 4 parametri e si ha che le soluzioni sono $oo^(4-1)$ la loro dimensione è 4-1=3?
Risposte
Sì!
Ok quindi, se ho capito bene la dimensione di un sottospazio di $RR^n$ è semplicemente collegato al numero di soluzioni e parametri dal quale dipende, ovvero $oo^(n-1)$ parametri. Per esempio un'equazione lineare a 4 incognite ammette $oo^(4-1)$ e pertanto la sua dimensione è 3. E' davvero così semplice ?
No! 
In questo esercizio hai una equazione lineare per cui essa è indipendente; se tu avessi più equazioni lineari a sistema dovresti determinare il rango della matrice dei coefficienti di esse e da tale ti calcoleresti la dimensione del sottospazio rappresentato.
In questo esercizio hai una equazione lineare per cui essa è indipendente; se tu avessi più equazioni lineari a sistema dovresti determinare il rango della matrice dei coefficienti di esse e da tale ti calcoleresti la dimensione del sottospazio rappresentato.
Sì infatti quando si ha un sottospazio generato da più equazioni. Ovviamente si mette a sistema e si calcola la matrice dei coefficienti (o matrice incompleta). Se il rango di tale matrice è inferiore al numero di incognite, esso ammette $oo^(n-p)$ soluzioni e peranto il sottospazio ha dimensione $n-p$.
Bravo, visto che le cose le sai!
Grazie! Ho solo qualche dubbietto, infatti oggi pome voglio proporti un esercizio in cui c'è uno spazio generato da alcuni vettori e alcuni generati equazioni o sistemi di equazioni
Proponilo sul forum così potrai essere aiutato da tutti e non solo da me! 
Quanto dici potrebbe violare il regolamento
... e (più o meno) come dice il regolamento non siamo qui per risolvere i problemi altrui
Quanto dici potrebbe violare il regolamento
... e (più o meno) come dice il regolamento non siamo qui per risolvere i problemi altrui
Sì ma come hai notato io non vi dico mica:"eccovi la traccia adesso risolvetemelo", vi posto la mia soluzione e vi chiedo dei chiarimenti. Ho letto il regolamento e non mi sembra che lo stia infrangendo.
"pietrodig":
...voglio proporti un esercizio...
Mi ha fatto pensare in male, ecco tutto
Ok adesso ci siamo chiariti. Cmq mi sembra di capire che te ne intendi di matematica, sei un ingegnere ?
E se m'intendessi per bene di chimica per chi mi prenderesti, per un fisico? 
NO
,non sono un ingegnere -_- ,puoi leggere nel mio profilo!
NO
,non sono un ingegnere -_- ,puoi leggere nel mio profilo!
al massimo un chimico
EVVAI !!! HO SUPERATO GEOMETRIA !!! GRAZIE MILLE A TUTTI !!
Auguri!
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