Esercizi matematica discreta complementi
ciao a tutti
è la prima volta che scrivi sul forum, ma spesso ho trovato soluzioni ad esercizi che mi servivano.. non ho trovato niente di simile purtroppo..
volevo chiedervi se mi date una mano
l'esercizio in questione è questo
"Siano U e V i seguenti sottospazi di R^4
U = {(x,y,z,w) € R^4: x+y =0 e z+w=0 }
V = {(x,y,z,w) € R^4: x+y+2z+2w=0 }
a) Trovare un'applicazione lineare T da R^4 in R^4 tale che KER (T) = U e IMM(T) inclusa in V
b) Scrivere la matrice rappresentativa rispetto all base canonica di R^4"
La matrice una volta che ho l'applicazione la so scrivere..ma non so trovare l'applicazione..
qualcuno mi sa dire come si procede?
grazie mille
è la prima volta che scrivi sul forum, ma spesso ho trovato soluzioni ad esercizi che mi servivano.. non ho trovato niente di simile purtroppo..
volevo chiedervi se mi date una mano
l'esercizio in questione è questo
"Siano U e V i seguenti sottospazi di R^4
U = {(x,y,z,w) € R^4: x+y =0 e z+w=0 }
V = {(x,y,z,w) € R^4: x+y+2z+2w=0 }
a) Trovare un'applicazione lineare T da R^4 in R^4 tale che KER (T) = U e IMM(T) inclusa in V
b) Scrivere la matrice rappresentativa rispetto all base canonica di R^4"
La matrice una volta che ho l'applicazione la so scrivere..ma non so trovare l'applicazione..
qualcuno mi sa dire come si procede?
grazie mille
Risposte
[mod]Ciao, benvenuto nel forum.
Ricorda che se si parla di spazi vettoriali matrici e/o applicazioni lineari la sezione giusta e' "geometria e algebra lineare".
Sposto.[/mod]
Ricorda che se si parla di spazi vettoriali matrici e/o applicazioni lineari la sezione giusta e' "geometria e algebra lineare".
Sposto.[/mod]
Ciao sollazzo, benvenuto nel forum.
Abbiamo parlato di un problema simile qui. Prova a dare un'occhiata. Se ci sono ancora problemi, chiedi pure.
P.S. La prossima volta, usa le formule come da regolamento del forum. I tuoi messaggi saranno più chiari!
Abbiamo parlato di un problema simile qui. Prova a dare un'occhiata. Se ci sono ancora problemi, chiedi pure.
P.S. La prossima volta, usa le formule come da regolamento del forum. I tuoi messaggi saranno più chiari!
scusate per la sezione e per le formule..
allora ho dato un'occhiata all'esercizio, e per quanto riguarda il mio esercizio ho:
$U = {(x,y,z,w) in RR^4 : x+y=0 and z+w=0}$
$V = {(x,y,z,w) in RR^4 : x+y+2z+2w =0}$
guardando l'esercizio che mi ha detto, ho operato cosi:
per quanto riguarda $U$, so che $x=-y$ e $z=-w$, quindi una base per $U$ è : $(-y,y,-w,w)$, avendo solo due variabili la dimensione della base è 2 e quindi utilizzo la base canonica di $RR^2$, ottenendo $(-1,1,0,0)$ e $(0,0,-1,1)$
fin qui ci sono.ora devo trovare l'applicazione $T$ tale che $ker(T) = U$ e $Im(T) sube V$
Ora faccio fatica ad andare avanti.Ho visto l'esercizio ma non ho capito tanto..
allora ho dato un'occhiata all'esercizio, e per quanto riguarda il mio esercizio ho:
$U = {(x,y,z,w) in RR^4 : x+y=0 and z+w=0}$
$V = {(x,y,z,w) in RR^4 : x+y+2z+2w =0}$
guardando l'esercizio che mi ha detto, ho operato cosi:
per quanto riguarda $U$, so che $x=-y$ e $z=-w$, quindi una base per $U$ è : $(-y,y,-w,w)$, avendo solo due variabili la dimensione della base è 2 e quindi utilizzo la base canonica di $RR^2$, ottenendo $(-1,1,0,0)$ e $(0,0,-1,1)$
fin qui ci sono.ora devo trovare l'applicazione $T$ tale che $ker(T) = U$ e $Im(T) sube V$
Ora faccio fatica ad andare avanti.Ho visto l'esercizio ma non ho capito tanto..
Ok, i vettori $u_1=(-1,1,0,0)$ e $u_2=(0,0,-1,1)$ formano una base di $U$. Ora completala ad una base di $RR^4$ ottenendo una base $(u_1,u_2,u_3,u_4)$.
Per definire $T$, devi definire come agisce $T$ sui vettori di questa base, cioè devi definire $T(U_1)$, $T(U_2)$, $T(U_3)$, $T(U_4)$.
Dal fatto che $ker\ T=U$, ottieni che
$T(u_1)=......$
$T(u_2)=......$
Affinchè $Im\ T\subset V$, dove devono essere $T(u_3)$ e $T(u_4)$ ?
Dopo che avrai risposto a queste domande, avrai definito $T$ e potrai passare a valutare la matrice associata a $T$ rispetto alla base canonica. Nel post che ti ho indicato precedentemente, ci sono alcuni suggerimenti per farlo. In ogni caso se ci sono problemi, siamo qui.
Per definire $T$, devi definire come agisce $T$ sui vettori di questa base, cioè devi definire $T(U_1)$, $T(U_2)$, $T(U_3)$, $T(U_4)$.
Dal fatto che $ker\ T=U$, ottieni che
$T(u_1)=......$
$T(u_2)=......$
Affinchè $Im\ T\subset V$, dove devono essere $T(u_3)$ e $T(u_4)$ ?
Dopo che avrai risposto a queste domande, avrai definito $T$ e potrai passare a valutare la matrice associata a $T$ rispetto alla base canonica. Nel post che ti ho indicato precedentemente, ci sono alcuni suggerimenti per farlo. In ogni caso se ci sono problemi, siamo qui.
"cirasa":
Ok, i vettori $u_1=(-1,1,0,0)$ e $u_2=(0,0,-1,1)$ formano una base di $U$. Ora completala ad una base di $RR^4$ ottenendo una base $(u_1,u_2,u_3,u_4)$.
Per definire $T$, devi definire come agisce $T$ sui vettori di questa base, cioè devi definire $T(U_1)$, $T(U_2)$, $T(U_3)$, $T(U_4)$.
Dal fatto che $ker\ T=U$, ottieni che
$T(u_1)=......$
$T(u_2)=......$
Affinchè $Im\ T\subset V$, dove devono essere $T(u_3)$ e $T(u_4)$ ?
Dopo che avrai risposto a queste domande, avrai definito $T$ e potrai passare a valutare la matrice associata a $T$ rispetto alla base canonica. Nel post che ti ho indicato precedentemente, ci sono alcuni suggerimenti per farlo. In ogni caso se ci sono problemi, siamo qui.
Ok allora guardano l'esercizio che mi avete consigliato, dal fatto che $ker(T) = U$, vuol dire che se ho un vettore $x$ è in $U$, allora $T(x) = 0$
Io ho già trovato due basi: $u1 = (-1,1,0,0)$ e $u2 = (0,0,-1,1)$
Quindi $u1 in U, u2 in U$, e di conseguenza $T(u1) = 0, T(u2) = 0
Ora, completare la base in $RR^4$ vuol dire trovare altri due vettori linearmente indipendenti, giusto? per esempio posso prendere $u3 = (0,0,1,0), u4 = (0,0,0,1)$
Quindi la base in $RR^4 = <(-1,1,0,0),(0,0,-1,1),(0,0,1,0),(0,0,0,1)>$
da cui ricavo per esempio $T(u3) = (0,0,1,0), T(u4) = (0,0,0,1)$ ?
è giusto oppure ho fatto un po di confusione?
Attenzione: i vettori $u_3$, $u_4$ che hai scelto non sono tali che $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ è una base di $RR^4$ !!!
E poi devi scegliere $T(u_3)$ e $T(u_4)$ tali che $Im\ T\subset V$. Tieni conto che, per definizione di $Im\ T$, si ha che $T(u_3),T(u_4)\in Im\ T$...
E poi devi scegliere $T(u_3)$ e $T(u_4)$ tali che $Im\ T\subset V$. Tieni conto che, per definizione di $Im\ T$, si ha che $T(u_3),T(u_4)\in Im\ T$...
hai ragione. ho provato a rivedere. Dunque un sistema di vettori è una base se tutti i vettori sono linearmente indipendenti e se sono generatori.
$u1=(-1,1,0,0)$
$u2=(0,0,-1,1)$
$u3,u4$ non posso sceglierli tra le basi canoniche? per esempio $u3= (0,1,0,0), u4 = (0,0,0,1)$
Così i 4 vettori sono linearmente indipendenti tra loro. Nell'altro esercizio per l'appunto sceglieva $u3 = (1,0,0)$ che è una base canonica di $RR^3$ appunto
quindi $u3,u4$ come gli ho scelti adesso vanno bene? ho provato a risolvere il sistema moltiplicando i vettori rispettivamente per $alpha,beta,gamma,delta$ e vengono tutti uguale a 0
$u1=(-1,1,0,0)$
$u2=(0,0,-1,1)$
$u3,u4$ non posso sceglierli tra le basi canoniche? per esempio $u3= (0,1,0,0), u4 = (0,0,0,1)$
Così i 4 vettori sono linearmente indipendenti tra loro. Nell'altro esercizio per l'appunto sceglieva $u3 = (1,0,0)$ che è una base canonica di $RR^3$ appunto
quindi $u3,u4$ come gli ho scelti adesso vanno bene? ho provato a risolvere il sistema moltiplicando i vettori rispettivamente per $alpha,beta,gamma,delta$ e vengono tutti uguale a 0
Questi vettori $u_3$ e $u_4$ ora vanno bene. Eravamo d'accordo che $T(u_1)=T(u_2)=0$. Ora devi definire $T(u_3)$ e $T(u_4)$, in modo che $Im\ T\subset V$.
E avrai definito $T$.
E avrai definito $T$.
ok allora fino alla scelta delle basi ci sono (prima avevo scelto si due basi canoniche, ma non erano linearmente indipendenti).
una domanda: definire $T(u3)$ in modo che sia $sub V$, posso scegliere io?Per esempio $T(u3) = (1,1,0,-1)$ e $T(u4) = (2,0,0,-1)$ ?
voglio dire, li posso scegliere arbitrariamente, basta che "cada" in V? Per quelle due che ho scelto, entrambe sono $sub V$.
Se cosi fosse, allora ho capito e ti ringrazio molto.
Un'ultima cosa: io ho capito come funziona l'applicazione, ma come faccio a rappresentarla con la matrice? All'inizio avevo detto che lo sapevo fare, ma pensavo che alla fine dell'esercizio arrivassi a scrivere T, e non a definirla solamente..
grazie mille nel frattempo
una domanda: definire $T(u3)$ in modo che sia $sub V$, posso scegliere io?Per esempio $T(u3) = (1,1,0,-1)$ e $T(u4) = (2,0,0,-1)$ ?
voglio dire, li posso scegliere arbitrariamente, basta che "cada" in V? Per quelle due che ho scelto, entrambe sono $sub V$.
Se cosi fosse, allora ho capito e ti ringrazio molto.
Un'ultima cosa: io ho capito come funziona l'applicazione, ma come faccio a rappresentarla con la matrice? All'inizio avevo detto che lo sapevo fare, ma pensavo che alla fine dell'esercizio arrivassi a scrivere T, e non a definirla solamente..
grazie mille nel frattempo
Bene anche la scelta di $T(u_3)$ e $T(u_4)$. Era sufficiente che appartenessero a $V$ e che fossero entrambi non nulli (altrimenti anche $u_3$ o $u_4$ sarebbero stati nel nucleo di $T$).
Ora devi trovare la matrice associata rispetto alla base canonica $(e_1,e_2,e_3,e_4)$. Per fare ciò devi capire quanto valgono $T(e_1),T(e_2),T(e_3),T(e_4)$ (per definizione di matrice associata).
Calcolo per esempio $T(e_1)$. Scrivo $e_1$ come combinazione lineare di $u_1,...,u_4$, ottenendo $e_1=\sum_{i=1}^4 a_iu_i$. (Posso trovare i quattro coefficienti $a_i$ perchè $u_1,...,u_4$ formano una base) Quindi si ha che
$T(e_1)=T(\sum a_iu_i)=\sum a_iT(u_i)=....$
Prova a fare i conti per i quattro vettori e posta i risultati. Ora ho un impegno e non potrò controllarli, lo farò domani, sempre se qualche altro utente non lo farà per me. Ciao!
Ora devi trovare la matrice associata rispetto alla base canonica $(e_1,e_2,e_3,e_4)$. Per fare ciò devi capire quanto valgono $T(e_1),T(e_2),T(e_3),T(e_4)$ (per definizione di matrice associata).
Calcolo per esempio $T(e_1)$. Scrivo $e_1$ come combinazione lineare di $u_1,...,u_4$, ottenendo $e_1=\sum_{i=1}^4 a_iu_i$. (Posso trovare i quattro coefficienti $a_i$ perchè $u_1,...,u_4$ formano una base) Quindi si ha che
$T(e_1)=T(\sum a_iu_i)=\sum a_iT(u_i)=....$
Prova a fare i conti per i quattro vettori e posta i risultati. Ora ho un impegno e non potrò controllarli, lo farò domani, sempre se qualche altro utente non lo farà per me. Ciao!
ok grazie mille...ora provo a fare i calcoli
"cirasa":
Bene anche la scelta di $T(u_3)$ e $T(u_4)$. Era sufficiente che appartenessero a $V$ e che fossero entrambi non nulli (altrimenti anche $u_3$ o $u_4$ sarebbero stati nel nucleo di $T$).
Ora devi trovare la matrice associata rispetto alla base canonica $(e_1,e_2,e_3,e_4)$. Per fare ciò devi capire quanto valgono $T(e_1),T(e_2),T(e_3),T(e_4)$ (per definizione di matrice associata).
Calcolo per esempio $T(e_1)$. Scrivo $e_1$ come combinazione lineare di $u_1,...,u_4$, ottenendo $e_1=\sum_{i=1}^4 a_iu_i$. (Posso trovare i quattro coefficienti $a_i$ perchè $u_1,...,u_4$ formano una base) Quindi si ha che
$T(e_1)=T(\sum a_iu_i)=\sum a_iT(u_i)=....$
Prova a fare i conti per i quattro vettori e posta i risultati. Ora ho un impegno e non potrò controllarli, lo farò domani, sempre se qualche altro utente non lo farà per me. Ciao!
Ciao sono interessato anche io allo svolgimento dell'esercizio, anche io sono arrivato alla determinazione dell'applicazione.
Però mi spaice non ho capito come fare ad ottenre i vari vettori della base canonica $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ e come giungere alla matrice rappresentativa.
Se non ho sbagliato a copiare, eravamo giunti a questo punto:
$u_1=(-1,1,0,0)$
$u_2=(0,0,-1,1)$
$u_3=(0,1,0,0)$
$u_4=(0,0,0,1)$
Questi vettori formano una base di $RR^4$. Un'applicazione $T$ che verifica le proprietà richieste è quella tale che
$T(u_1)=T(u_2)=0$
$T(u_3) = (1,1,0,-1)$
$T(u_4) = (2,0,0,-1)$
Finisco l'esercizio. Lo nascondo per non togliere il gusto a "sollazzo" di proseguire da solo. Poi potrà confrontare.
$u_1=(-1,1,0,0)$
$u_2=(0,0,-1,1)$
$u_3=(0,1,0,0)$
$u_4=(0,0,0,1)$
Questi vettori formano una base di $RR^4$. Un'applicazione $T$ che verifica le proprietà richieste è quella tale che
$T(u_1)=T(u_2)=0$
$T(u_3) = (1,1,0,-1)$
$T(u_4) = (2,0,0,-1)$
Finisco l'esercizio. Lo nascondo per non togliere il gusto a "sollazzo" di proseguire da solo. Poi potrà confrontare.
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