Esercizi di geometria proiettiva
ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto per i seguenti esercizi:
1) nello spazio proiettivo $ P_3 $ siano assegnate le rette $ r_1: { ( x_1-x_2=0 ),( x_4=0 ):} $
$ r_2: { ( x_3=0 ),( x_4=0 ):} $ $ r_3: { ( x_2=0 ),( x_3=0 ):} $ $ r_4: { ( x_2=0 ),( x_1-x_3=0 ):} $
trovare le rette proiettive che si appoggiano sulle quattro rette assegnate.
Io ho trovato i punti $ r_1 nn r_2=A=(1,1,0,0)$ e $ r_3 nn r_4= B=(0,0,0,1) $ e ho trovato come retta proiettiva la retta $ AB $. Poi però, guardando le soluzioni dell'esercizio, ho visto che come altra retta proiettiva c'è la retta di intersezione dei due piani $ (x_2=0) nn (x_3=0) $ e non riesco a capire perchè...
2)Nello spazio proiettivo $ P(E_5) $ sono dati gli iperpiani proiettivi $ p_1: x_1+x_5 = 0 $ e $ p_2:x_2-x_5=0 $ e i punti
$ A=(1,-1,2,0,1) $ $ B=(-1,1,0,2,1)$ $ C=(-1,0,1,2,1)$ e $ D=(0,0,0,0,1)$ . Trovare:
a)L'equazione dell'iperpiano proiettivo $ p_3 $ individuato dai punti A,B,C,D
b) Una rappresentazione parametrica della retta proiettiva $ m $ comune a $ p_1 $, $ p_2 $ e $ p_3 $
Per l'equazione dell'iperpiano io calcolerei $ det| ( x_1 , x_2 , x_3 , x_4 , x_5 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , -1 , 2 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 0 , 2 , 1 ),( -1 , 0 , 1 , 2 , 1 ) |=0 $ che, se non ho sbagliato i conti, viene $ -x_1+x_2+x_3-2x_4=0 $ è corretto?
Poi per l'equazione parametrica della retta come devo fare?
3) Nello spazio proiettivo $ P_4 $ scrivere l'equazione della retta $ r' $ che si ottiene proiettando la retta
$ r:{ (x_1=a+b ),( x_2=-a ),( x_3=2a-b ),( x_4=b ),( x_5=-b ):} $ dal punto $ S=(0,1,0,1,1) $ sull'iperpiano
$ p: x_1-2x_2+2x_3=0 $
Per questo buio completo...mi potreste dire almeno come iniziarlo?
Grazie mille a tutti in anticipo!!
1) nello spazio proiettivo $ P_3 $ siano assegnate le rette $ r_1: { ( x_1-x_2=0 ),( x_4=0 ):} $
$ r_2: { ( x_3=0 ),( x_4=0 ):} $ $ r_3: { ( x_2=0 ),( x_3=0 ):} $ $ r_4: { ( x_2=0 ),( x_1-x_3=0 ):} $
trovare le rette proiettive che si appoggiano sulle quattro rette assegnate.
Io ho trovato i punti $ r_1 nn r_2=A=(1,1,0,0)$ e $ r_3 nn r_4= B=(0,0,0,1) $ e ho trovato come retta proiettiva la retta $ AB $. Poi però, guardando le soluzioni dell'esercizio, ho visto che come altra retta proiettiva c'è la retta di intersezione dei due piani $ (x_2=0) nn (x_3=0) $ e non riesco a capire perchè...
2)Nello spazio proiettivo $ P(E_5) $ sono dati gli iperpiani proiettivi $ p_1: x_1+x_5 = 0 $ e $ p_2:x_2-x_5=0 $ e i punti
$ A=(1,-1,2,0,1) $ $ B=(-1,1,0,2,1)$ $ C=(-1,0,1,2,1)$ e $ D=(0,0,0,0,1)$ . Trovare:
a)L'equazione dell'iperpiano proiettivo $ p_3 $ individuato dai punti A,B,C,D
b) Una rappresentazione parametrica della retta proiettiva $ m $ comune a $ p_1 $, $ p_2 $ e $ p_3 $
Per l'equazione dell'iperpiano io calcolerei $ det| ( x_1 , x_2 , x_3 , x_4 , x_5 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , -1 , 2 , 0 , 1 ),( -1 , 1 , 0 , 2 , 1 ),( -1 , 0 , 1 , 2 , 1 ) |=0 $ che, se non ho sbagliato i conti, viene $ -x_1+x_2+x_3-2x_4=0 $ è corretto?
Poi per l'equazione parametrica della retta come devo fare?
3) Nello spazio proiettivo $ P_4 $ scrivere l'equazione della retta $ r' $ che si ottiene proiettando la retta
$ r:{ (x_1=a+b ),( x_2=-a ),( x_3=2a-b ),( x_4=b ),( x_5=-b ):} $ dal punto $ S=(0,1,0,1,1) $ sull'iperpiano
$ p: x_1-2x_2+2x_3=0 $
Per questo buio completo...mi potreste dire almeno come iniziarlo?
Grazie mille a tutti in anticipo!!
Risposte
Proprio nessuno mi aiuta?Ho l'esame venerdi...ci ho pensato ancorra su ma non sono riuscita a trovare nessuna soluzione 
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