Esercizi Algebra Lineare: Chi mi da una mano?
Salve a tutti, vi voglio proporre alcuni esercizi che non riesco a risolvere, non so, ci ho passato intere ore su, ma buio, zero totale...perciò, mi sono detto: "Vuoi vedere che quei geniacci di Matematicamente riescono a risolverli in un batter di ciglia?"
Ed eccomi qua, vi propongo questa immagine con alcuni esercizi che per voi saranno semplicissimi, ma per me non lo sono...
Vi chiedo se gentilmente ci sarebbe qualcuno capace di risolverli e magari commentarli per renderli di più facile comprensione.
Grazie Mille!
Ed eccomi qua, vi propongo questa immagine con alcuni esercizi che per voi saranno semplicissimi, ma per me non lo sono...
Vi chiedo se gentilmente ci sarebbe qualcuno capace di risolverli e magari commentarli per renderli di più facile comprensione.
Grazie Mille!
Risposte
Come ben saprai dal regolamento che sicuramente sai a memoria (:D ) occorre presentare anche i propri tentativi!
Oltre a ciò, è bene anche che modifichi il titolo del topic in qualcosa di più attinente all'argomento (questo è utile anche ad altri utenti che stanno lavorando su cose simili!).
Paola
PS. Un aiuto per te per risolverne alcuni: ricorda che una matrice quadrata è invertibile se e solo se ha determinante diverso da $0$.
Oltre a ciò, è bene anche che modifichi il titolo del topic in qualcosa di più attinente all'argomento (questo è utile anche ad altri utenti che stanno lavorando su cose simili!).
Paola
PS. Un aiuto per te per risolverne alcuni: ricorda che una matrice quadrata è invertibile se e solo se ha determinante diverso da $0$.
Grazie Prime_Number, come da te consigliatomi ho modificato il titolo del topic.
Per quanto riguarda le prove che ho fatto per la risoluzione degli stessi Es.: il problema è che mi areno proprio perchè non so come svolgerli...potresti gentilmente darmi una mano nello svolgimento con magari qualche commentino?
in modo tale da usarli come base d'apprendimento per adattarli ad altri es.
Grazie ancora!
Per quanto riguarda le prove che ho fatto per la risoluzione degli stessi Es.: il problema è che mi areno proprio perchè non so come svolgerli...potresti gentilmente darmi una mano nello svolgimento con magari qualche commentino?
in modo tale da usarli come base d'apprendimento per adattarli ad altri es.
Grazie ancora!
Prendiamo il primo: dobbiamo chiederci "quando una matrice è invertibile?" Risposta...
Quindi calcoliamo il suo determinante, ad esempio con la regola di Sarrus, e troveremo un polinomio che dipende da $k$ cioè
Prendiamo quindi questo determinante e...
Quindi per tutti i $k$ diversi da questi due valori esiste la matrice inversa che si calcola con il metodo dei complementi algebrici oppure con il metodo di Gauss affiancando alla matrice originaria una matrice identità di dimensione opportuna e riducendo.
Ci sei su questo?
Altri suggerimenti... dopo pranzo!
Quindi calcoliamo il suo determinante, ad esempio con la regola di Sarrus, e troveremo un polinomio che dipende da $k$ cioè
Prendiamo quindi questo determinante e...
Quindi per tutti i $k$ diversi da questi due valori esiste la matrice inversa che si calcola con il metodo dei complementi algebrici oppure con il metodo di Gauss affiancando alla matrice originaria una matrice identità di dimensione opportuna e riducendo.
Ci sei su questo?
Altri suggerimenti... dopo pranzo!
Allora, visto che non sono numerati numeriamoli noi in questo modo:
Es. 1: inversa di $M_k$
Es. 2: autovalori di $A$
Es. 3: funzione lineare $F$
Es. 4: rango di $M\cdot N$
Fermiamoci qui per ora e iniziamo da questi, che ne dici? Cerchiamo di procedere insieme: sono coinvolte infatti diverse e varie nozioni di algebra lineare... se davvero sei arenato completamente su ognuno di questi direi che il problema è più ampio e devi...ricominciare daccapo a studiare
!
Provo a darti un suggerimento per ognuno di questi esercizi. Tu prova e se non riesci a completarne qualcuno posta i tuoi passaggi e guardiamo dove ti incagli.
1: come dicevo, $M_k$ sarà invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo. Calcola dunque il determinante e ponilo uguale a $0$ e vedi per quali $k$ ciò avviene! Per calcolare l'inversa, esiste una formula precisa.
2: polinomio caratteristico... ti dice nulla?
3: credo che il procedimento più veloce per avere la matrice nella base $B$ sia utilizzare le matrici di passaggio di base. Trovi le formule esplicite per calcolarle qui. Ti servirà naturalmente la matrice secondo la base canonica, che si ottiene dalla formula della funzione data nella consegna:
$M_1=((3,1,1),(1,-1,1),(2,2,0))$
[la prima colonna è $F((0,0,1))$, la seconda $F((0,1,0))$, la terza $F((0,0,1))$, cioè le rispettive immagini dei tre vettori della base canonica]
Per l'iniettività: una funzione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo ($Ker$) è composto solo dal vettore nullo. In altre parole, uno dovrebbe risolvere il sistema $M_1 ((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ (che rappresenta le equazioni del $Ker$, seguendo la definizione di nucleo). Se ottiene come unica soluzione quella nulla allora la funzione è iniettiva, altrimenti no. Pensando alla teoria dei sistemi lineari (omogenei) sappiamo che la soluzione è unica ( e necessariamente nulla) se e solo se $rank M_1=3=$numero incognite. Dunque devi semplicemente controllare che $det M_1 \ne 0$.
4: inizia calcolando $M\cdot N$. Dopo di che discuti il rango con il metodo degli orlati (lo trovi a questo link spiegato da me).
Paola
Es. 1: inversa di $M_k$
Es. 2: autovalori di $A$
Es. 3: funzione lineare $F$
Es. 4: rango di $M\cdot N$
Fermiamoci qui per ora e iniziamo da questi, che ne dici? Cerchiamo di procedere insieme: sono coinvolte infatti diverse e varie nozioni di algebra lineare... se davvero sei arenato completamente su ognuno di questi direi che il problema è più ampio e devi...ricominciare daccapo a studiare
!Provo a darti un suggerimento per ognuno di questi esercizi. Tu prova e se non riesci a completarne qualcuno posta i tuoi passaggi e guardiamo dove ti incagli.
1: come dicevo, $M_k$ sarà invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo. Calcola dunque il determinante e ponilo uguale a $0$ e vedi per quali $k$ ciò avviene! Per calcolare l'inversa, esiste una formula precisa.
2: polinomio caratteristico... ti dice nulla?
3: credo che il procedimento più veloce per avere la matrice nella base $B$ sia utilizzare le matrici di passaggio di base. Trovi le formule esplicite per calcolarle qui. Ti servirà naturalmente la matrice secondo la base canonica, che si ottiene dalla formula della funzione data nella consegna:
$M_1=((3,1,1),(1,-1,1),(2,2,0))$
[la prima colonna è $F((0,0,1))$, la seconda $F((0,1,0))$, la terza $F((0,0,1))$, cioè le rispettive immagini dei tre vettori della base canonica]
Per l'iniettività: una funzione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo ($Ker$) è composto solo dal vettore nullo. In altre parole, uno dovrebbe risolvere il sistema $M_1 ((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$ (che rappresenta le equazioni del $Ker$, seguendo la definizione di nucleo). Se ottiene come unica soluzione quella nulla allora la funzione è iniettiva, altrimenti no. Pensando alla teoria dei sistemi lineari (omogenei) sappiamo che la soluzione è unica ( e necessariamente nulla) se e solo se $rank M_1=3=$numero incognite. Dunque devi semplicemente controllare che $det M_1 \ne 0$.
4: inizia calcolando $M\cdot N$. Dopo di che discuti il rango con il metodo degli orlati (lo trovi a questo link spiegato da me).
Paola
@minomic: ok, fin qui ci sono, ti seguo continua pure...
@Prime_number: Stesso discorso, ma nell'es. 4 moltiplico le due matrici?
Grazie.
@Prime_number: Stesso discorso, ma nell'es. 4 moltiplico le due matrici?
Grazie.
...ok, credo di esserci adesso avanti con gli altri! @minomic
e ancora grazie a tutti!
e ancora grazie a tutti!
Nell'Es. 4 sì, le devi moltiplicare (prodotto riga per colonna eh, non elemento per elemento). Otterrai una nuova matrice quadrata di 3x3 (dato che moltiplichi una 3x2 con una 2x3). Dopo di che lavori con quella.
Rinomino anche gli esercizi seguenti:
Es. 5 diagonalizzare $A$
Es. 6 spazio vettoriale
Es. 7 stabilire se $A$ è simile ad una diagonale (anche l'esercizio seguente è identico quindi lo identifico con questo)
Es. 8 invertire $M$
Ecco i suggerimenti:
5. è la stessa cosa dell'es. 2, almeno la parte di determinare gli autovalori e se è diagonalizzabile.
Dato un autovalore $\lambda$, ricorda che le equazioni dell'autospazio corrispondente $V_\lambda$ si trovano risolvendo il sistema lineare $A-\lambda I \mathbf{x}=0$ ($I$ è la matrice identità, $\mathbf{x}$ il vettore generico delle incognite, in questo caso essendo $A$ di ordine $3$, $\mathbf{x}=((x),(y),(z))$).
Un trucco utile da ricordare in questo tipo di esercizi: c'è un teorema che dice che se un autovalore ha molteplicità algebrica $1$, automaticamente ha molteplicità geometrica $1$ (tienilo a mente, evita una marea di conti).
6. Costruisci una matrice (che chiamo $M$) usando i vettori dati come colonne. I vettori genereranno uno spazio vettoriale di dimensione $2$ se e solo se $rank M =2$. Dunque l'esercizio si riduce a discutere il rango di $M$ al variare del parametro $\alpha$. Essendo la matrice ottenuta quadrata di ordine $3$ (ed esistendo di sicuro un minore non nullo di ordine 1), in questo caso la condizione da porre è semplicemente $det M =0$: per quali $\alpha$ accade?
7. quasi identico a 5. Infatti una matrice è simile ad una matrice diagonale se e solo se è diagonalizzabile.
8. prima controlla che $det M \ne 0$ (condizione necessaria e sufficiente di invertibilità). Dopo di che usa semplicemente la formula per calcolare l'inversa (ho postato già il link nello scorso messaggio mio).
Se hai difficoltà, posta i calcoli e ci guardiamo! Ciao e buon lavoro
Paola
Rinomino anche gli esercizi seguenti:
Es. 5 diagonalizzare $A$
Es. 6 spazio vettoriale
Es. 7 stabilire se $A$ è simile ad una diagonale (anche l'esercizio seguente è identico quindi lo identifico con questo)
Es. 8 invertire $M$
Ecco i suggerimenti:
5. è la stessa cosa dell'es. 2, almeno la parte di determinare gli autovalori e se è diagonalizzabile.
Dato un autovalore $\lambda$, ricorda che le equazioni dell'autospazio corrispondente $V_\lambda$ si trovano risolvendo il sistema lineare $A-\lambda I \mathbf{x}=0$ ($I$ è la matrice identità, $\mathbf{x}$ il vettore generico delle incognite, in questo caso essendo $A$ di ordine $3$, $\mathbf{x}=((x),(y),(z))$).
Un trucco utile da ricordare in questo tipo di esercizi: c'è un teorema che dice che se un autovalore ha molteplicità algebrica $1$, automaticamente ha molteplicità geometrica $1$ (tienilo a mente, evita una marea di conti).
6. Costruisci una matrice (che chiamo $M$) usando i vettori dati come colonne. I vettori genereranno uno spazio vettoriale di dimensione $2$ se e solo se $rank M =2$. Dunque l'esercizio si riduce a discutere il rango di $M$ al variare del parametro $\alpha$. Essendo la matrice ottenuta quadrata di ordine $3$ (ed esistendo di sicuro un minore non nullo di ordine 1), in questo caso la condizione da porre è semplicemente $det M =0$: per quali $\alpha$ accade?
7. quasi identico a 5. Infatti una matrice è simile ad una matrice diagonale se e solo se è diagonalizzabile.
8. prima controlla che $det M \ne 0$ (condizione necessaria e sufficiente di invertibilità). Dopo di che usa semplicemente la formula per calcolare l'inversa (ho postato già il link nello scorso messaggio mio).
Se hai difficoltà, posta i calcoli e ci guardiamo! Ciao e buon lavoro
Paola
Su richiesta dell'utente e senza nulla togliere agli ottimi suggerimenti dati da prime_number procedo con la risoluzione di altri esercizi.
Esercizio 2: si vogliono gli autovalori della matrice $A=[(3, 1, -1), (2, 0, -1/3), (0, 2, -1)]$ e si vuole stabilire se questa matrice sia simile a una matrice diagonale. Partiamo dagli autovalori che sono le...
Scrivo questa matrice, cioè $[(3-lambda, 1, -1), (2, -lambda, -1/3), (0, 2, -1-lambda)]$ e calcolo il suo determinante, ad esempio con Sarrus, e risulta...
Ora, per trovare gli autovalori, prendo questo determinante e...
Tutti e tre gli autovalori hanno molteplicità algebrica pari a $1$, quindi anche la molteplicità geometrica sarà pari a $1$ (un risultato dimostrabile afferma che $1<="molt"_"geo"<="molt"_"alg"<=n$). Ne consegue che i tre autovalori sono regolari e quindi la matrice $A$ è diagonalizzabile.
Esercizio 2: si vogliono gli autovalori della matrice $A=[(3, 1, -1), (2, 0, -1/3), (0, 2, -1)]$ e si vuole stabilire se questa matrice sia simile a una matrice diagonale. Partiamo dagli autovalori che sono le...
Scrivo questa matrice, cioè $[(3-lambda, 1, -1), (2, -lambda, -1/3), (0, 2, -1-lambda)]$ e calcolo il suo determinante, ad esempio con Sarrus, e risulta...
Ora, per trovare gli autovalori, prendo questo determinante e...
Tutti e tre gli autovalori hanno molteplicità algebrica pari a $1$, quindi anche la molteplicità geometrica sarà pari a $1$ (un risultato dimostrabile afferma che $1<="molt"_"geo"<="molt"_"alg"<=n$). Ne consegue che i tre autovalori sono regolari e quindi la matrice $A$ è diagonalizzabile.
Esercizio 3
Scrivo la matrice associata all'applicazione nella base canonica, cioè $A=[(3, 1, 1), (1, -1, 1), (2, 2, 0)]$.
Scrivo la matrice di passaggio dalla base \( \mathfrak{B} \) alla canonica, ottenuta affiancando i vettori colonna che formano la base, quindi $[(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)]$.
Per la formula del cambiamento di base, la matrice associata all'applicazione rispetto alla nuova base \( \mathfrak{B} \) si ottiene così: $A_B = M^C_B * A * M^B_C$ dove $M^B_C$ è quella che ho trovato prima. Resta quindi da calcolare $M^C_B$ che però è l'inversa di $M^B_C$ quindi dico che
$M^C_B = (M^B_C)^(-1) = [(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)]^(-1) = $.......calcolo l'inversa........=$[(1, 0, 0), (-1, 1, 0), (0, -1, 1)]$.
Concludo dicendo che la matrice che stavo cercando è
$A_B = M^C_B * A * M^B_C = [(1, 0, 0), (-1, 1, 0), (0, -1, 1)] [(3, 1, 1), (1, -1, 1), (2, 2, 0)] [(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)] = [(5, 2, 1), (-4, -2, 0), (3, 2, -1)]$.
Il tutto sperando di non aver fatto errori!
Per stabilire se è iniettiva devo, come diceva prime_number, risolvere il sistema $A ((x), (y), (z)) = ((0), (0), (0))$ e vedere se ammette come soluzione unica il vettore nullo. Prendo $A$ e calcolo il suo rango: risulta $2$ quindi non è massimo, quindi la soluzione dipenderà da un parametro, quindi esistono infiniti vettori che hanno come immagine il vettore nullo: l'applicazione non è iniettiva. Fine.
Scrivo la matrice associata all'applicazione nella base canonica, cioè $A=[(3, 1, 1), (1, -1, 1), (2, 2, 0)]$.
Scrivo la matrice di passaggio dalla base \( \mathfrak{B} \) alla canonica, ottenuta affiancando i vettori colonna che formano la base, quindi $[(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)]$.
Per la formula del cambiamento di base, la matrice associata all'applicazione rispetto alla nuova base \( \mathfrak{B} \) si ottiene così: $A_B = M^C_B * A * M^B_C$ dove $M^B_C$ è quella che ho trovato prima. Resta quindi da calcolare $M^C_B$ che però è l'inversa di $M^B_C$ quindi dico che
$M^C_B = (M^B_C)^(-1) = [(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)]^(-1) = $.......calcolo l'inversa........=$[(1, 0, 0), (-1, 1, 0), (0, -1, 1)]$.
Concludo dicendo che la matrice che stavo cercando è
$A_B = M^C_B * A * M^B_C = [(1, 0, 0), (-1, 1, 0), (0, -1, 1)] [(3, 1, 1), (1, -1, 1), (2, 2, 0)] [(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)] = [(5, 2, 1), (-4, -2, 0), (3, 2, -1)]$.
Il tutto sperando di non aver fatto errori!
Per stabilire se è iniettiva devo, come diceva prime_number, risolvere il sistema $A ((x), (y), (z)) = ((0), (0), (0))$ e vedere se ammette come soluzione unica il vettore nullo. Prendo $A$ e calcolo il suo rango: risulta $2$ quindi non è massimo, quindi la soluzione dipenderà da un parametro, quindi esistono infiniti vettori che hanno come immagine il vettore nullo: l'applicazione non è iniettiva. Fine.
Esercizio 5
Date le matrici $M=((-1, 0), (2, alpha), (1, 3))$ e $N=((5, -1, 2alpha), (1, 0, -1))$ si vuole il rango della matrice $M*N$ al variare di $alpha in RR$.
Per prima cosa eseguo il prodotto righe per colonne tra le matrici e trovo $M*N=((-5, 1, -2alpha), (alpha+10, -2, 3alpha), (8, -1, 2alpha-3))$.
Calcolo il determinante e guardo quando si annulla: il determinante della matrice, calcolabile ad esempio con Sarrus, risulta $0, AA alpha in RR$. Questo significa che il determinante è sempre nullo e quindi che il rango non è mai $3$: quindi può essere $1$ o $2$. Guardando la matrice si vede subito che per ogni valore di $alpha$ si può estrarre il minore $((-5, 1), (8, -1))$ che è invertibile. Si può quindi concludere che il rango della matrice $M*N$ è $2, AA alpha in RR$.
Date le matrici $M=((-1, 0), (2, alpha), (1, 3))$ e $N=((5, -1, 2alpha), (1, 0, -1))$ si vuole il rango della matrice $M*N$ al variare di $alpha in RR$.
Per prima cosa eseguo il prodotto righe per colonne tra le matrici e trovo $M*N=((-5, 1, -2alpha), (alpha+10, -2, 3alpha), (8, -1, 2alpha-3))$.
Calcolo il determinante e guardo quando si annulla: il determinante della matrice, calcolabile ad esempio con Sarrus, risulta $0, AA alpha in RR$. Questo significa che il determinante è sempre nullo e quindi che il rango non è mai $3$: quindi può essere $1$ o $2$. Guardando la matrice si vede subito che per ogni valore di $alpha$ si può estrarre il minore $((-5, 1), (8, -1))$ che è invertibile. Si può quindi concludere che il rango della matrice $M*N$ è $2, AA alpha in RR$.
Esercizio 6
Data la matrice $A=((-2, 0, 0), (0, 1, 3), (0, 3, 1))$ si vogliono gli autovalori e una base dei relativi autospazi. Si vuole poi stabilire se la matrice $A$ risulta simile a una matrice diagonale.
Per il calcolo degli autovalori si procede in modo assolutamente identico all'esercizio $2$. Ti invito quindi a provare...
Ora calcolo le molteplicità geometriche (solo per $lambda=-2$ perchè in realtà la molteplicità geometrica dell'altro la conosciamo gia...)
Calcolo quindi il rango della matrice...
Quindi la molteplicità geometrica dell'autovalore $lambda=-2$ è $3-1=2$, quindi l'autovalore è regolare.
Prendiamo l'autovalore $lambda=-2$ e risolviamo il sistema $(A+2I)*((x), (y), (z)) = 0$. Direi che si vede facilmente che il sistema equivale a $3y+3z=0 rarr z=-y$. Posso scrivere il vettore delle soluzioni come $((x), (y), (-y)) = x((1), (0), (0)) + y((0), (1), (-1))$. Quindi possiamo dire che una base dell'autospazio relativo all'autovalore $lambda=-2$ è ${((1), (0), (0)), ((0), (1), (-1))}$.
Passiamo all'autovalore $lambda=4$: calcolo la matrice $A-4I=((-6, 0, 0), (0, -3, 3), (0, 3, -3))$. Anche in questo caso è abbastanza evidente il rango...
Trasformo la matrice nel seguente modo per facilitare i calcoli: $((1, 0, 0), (0, -1, 1), (0, 0, 0))$. Utilizzo la $z$ come parametro e posso dire che il vettore delle soluzioni è $((0), (z), (z)) = z((0), (1), (1))$. Quindi una base dell'autospazio relativo all'autovalore $lambda=4$ è ${((0), (1), (1))}$.
Se poi non ci accontentiamo e vogliamo anche trovare questa famosa matrice diagonale simile alla matrice $A$ possiamo definire $P$ la matrice che si ottiene affiancando le basi degli autospazi, cioè $P=((1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, -1, 1))$ e dire che la matrice diagonale sarà $D=P^-1*A*P=$......calcoli........$((-2, 0, 0), (0, -2, 0), (0, 0, 4))$.
Già finito!
Data la matrice $A=((-2, 0, 0), (0, 1, 3), (0, 3, 1))$ si vogliono gli autovalori e una base dei relativi autospazi. Si vuole poi stabilire se la matrice $A$ risulta simile a una matrice diagonale.
Per il calcolo degli autovalori si procede in modo assolutamente identico all'esercizio $2$. Ti invito quindi a provare...
Ora calcolo le molteplicità geometriche (solo per $lambda=-2$ perchè in realtà la molteplicità geometrica dell'altro la conosciamo gia...)
Calcolo quindi il rango della matrice...
Quindi la molteplicità geometrica dell'autovalore $lambda=-2$ è $3-1=2$, quindi l'autovalore è regolare.
Prendiamo l'autovalore $lambda=-2$ e risolviamo il sistema $(A+2I)*((x), (y), (z)) = 0$. Direi che si vede facilmente che il sistema equivale a $3y+3z=0 rarr z=-y$. Posso scrivere il vettore delle soluzioni come $((x), (y), (-y)) = x((1), (0), (0)) + y((0), (1), (-1))$. Quindi possiamo dire che una base dell'autospazio relativo all'autovalore $lambda=-2$ è ${((1), (0), (0)), ((0), (1), (-1))}$.
Passiamo all'autovalore $lambda=4$: calcolo la matrice $A-4I=((-6, 0, 0), (0, -3, 3), (0, 3, -3))$. Anche in questo caso è abbastanza evidente il rango...
Trasformo la matrice nel seguente modo per facilitare i calcoli: $((1, 0, 0), (0, -1, 1), (0, 0, 0))$. Utilizzo la $z$ come parametro e posso dire che il vettore delle soluzioni è $((0), (z), (z)) = z((0), (1), (1))$. Quindi una base dell'autospazio relativo all'autovalore $lambda=4$ è ${((0), (1), (1))}$.
Se poi non ci accontentiamo e vogliamo anche trovare questa famosa matrice diagonale simile alla matrice $A$ possiamo definire $P$ la matrice che si ottiene affiancando le basi degli autospazi, cioè $P=((1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, -1, 1))$ e dire che la matrice diagonale sarà $D=P^-1*A*P=$......calcoli........$((-2, 0, 0), (0, -2, 0), (0, 0, 4))$.
Già finito!
Grazie!
Siete dei Grandi!!!
Siete dei Grandi!!!
Esercizio 7
Prendo i tre vettori e li utilizzo come righe di una matrice: $((1, a, 0, 1), (a, 0, a, 1), (1, -a, a, -1))$. La dimensione del sottospazio generato è pari al rango di questa matrice, che quindi deve essere $2$.
Credo che si veda ad occhio che il minore composto dagli elementi ai quattro angoli della matrice, cioè $((1, 1), (1, -1))$, è invertibile per qualsiasi valore di $a$. Quindi è necessario che non ci siano minori $3xx3$ invertibili e quindi viene abbastanza spontaneo dire $a=0$.
Immaginiamo però di non aver visto tutto questo. Partiamo dal minore in alto a sinistra $((1, a), (a, 0))$. E' un minore $2xx2$ quindi vogliamo che sia invertibile $rArr$ pongo il determinante diverso da zero e ottengo $a != 0$. A questo punto voglio che tutti i minori $3xx3$ estraibili non siano invertibili (altrimenti il rango sarebbe $3$). Prendo il minore che dicevo prima e lo orlo: ottengo questi due: $((1, a, 0), (a, 0, a), (1, -a, alpha))$ e $((1, a, 1), (a, 0, 1), (1, -a, -1))$. Non voglio che siano invertibili, quindi prendo i loro determinanti e li annullo.
Il determinante del primo viene $-alpha^3+2alpha^2$ che si annulla per $alpha=0 vv alpha=2$. La prima soluzione è da scartare per l'ipotesi iniziale $alpha != 0$ mentre si verifica che per $alpha=2$ l'altro minore sarebbe invertibile e quindi il rango sarebbe $3$.
Non ho quindi trovato soluzioni al problema... evidentemente era errata l'ipotesi iniziale $alpha != 0$ da cui si deduce $alpha = 0$.
Era decisamente meglio vederlo ad occhio!
Prendo i tre vettori e li utilizzo come righe di una matrice: $((1, a, 0, 1), (a, 0, a, 1), (1, -a, a, -1))$. La dimensione del sottospazio generato è pari al rango di questa matrice, che quindi deve essere $2$.
Credo che si veda ad occhio che il minore composto dagli elementi ai quattro angoli della matrice, cioè $((1, 1), (1, -1))$, è invertibile per qualsiasi valore di $a$. Quindi è necessario che non ci siano minori $3xx3$ invertibili e quindi viene abbastanza spontaneo dire $a=0$.
Immaginiamo però di non aver visto tutto questo. Partiamo dal minore in alto a sinistra $((1, a), (a, 0))$. E' un minore $2xx2$ quindi vogliamo che sia invertibile $rArr$ pongo il determinante diverso da zero e ottengo $a != 0$. A questo punto voglio che tutti i minori $3xx3$ estraibili non siano invertibili (altrimenti il rango sarebbe $3$). Prendo il minore che dicevo prima e lo orlo: ottengo questi due: $((1, a, 0), (a, 0, a), (1, -a, alpha))$ e $((1, a, 1), (a, 0, 1), (1, -a, -1))$. Non voglio che siano invertibili, quindi prendo i loro determinanti e li annullo.
Il determinante del primo viene $-alpha^3+2alpha^2$ che si annulla per $alpha=0 vv alpha=2$. La prima soluzione è da scartare per l'ipotesi iniziale $alpha != 0$ mentre si verifica che per $alpha=2$ l'altro minore sarebbe invertibile e quindi il rango sarebbe $3$.
Non ho quindi trovato soluzioni al problema... evidentemente era errata l'ipotesi iniziale $alpha != 0$ da cui si deduce $alpha = 0$.
Era decisamente meglio vederlo ad occhio!
Esercizio 8
Si vuole stabilire se la matrice $A=((1+sqrt2, 2), (-1, 1-sqrt2))$ e diagonalizzabile. E' un esercizio simile a uno che avevo già fatto, quindi dovresti essere in grado di svolgerlo da solo. Metto la soluzione sotto spoiler...
Gli ultimi due dovresti essere in grado di farli da solo. In caso contrario dimmelo che... provvedo!
Si vuole stabilire se la matrice $A=((1+sqrt2, 2), (-1, 1-sqrt2))$ e diagonalizzabile. E' un esercizio simile a uno che avevo già fatto, quindi dovresti essere in grado di svolgerlo da solo. Metto la soluzione sotto spoiler...
Gli ultimi due dovresti essere in grado di farli da solo. In caso contrario dimmelo che... provvedo!
Svolgo anche gli ultimi due esercizi mettendo la soluzione sotto spoiler. Come dicevo, a questo punto dovresti essere in grado di farli da solo quindi... provaci prima di sbirciare!
Esercizio 9
Esercizio 9
Esercizio 10
"minomic":
Prendiamo il primo: dobbiamo chiederci "quando una matrice è invertibile?" Risposta...
Quindi calcoliamo il suo determinante, ad esempio con la regola di Sarrus, e troveremo un polinomio che dipende da $k$ cioè
Prendiamo quindi questo determinante e...
Quindi per tutti i $k$ diversi da questi due valori esiste la matrice inversa che si calcola con il metodo dei complementi algebrici oppure con il metodo di Gauss affiancando alla matrice originaria una matrice identità di dimensione opportuna e riducendo.
Ci sei su questo?
Altri suggerimenti... dopo pranzo!
Quello di ridurre la matrice associandola a quella identica non mi è chiaro...me lo spiegheresti?
Grazie
Ciao, guarda come ho svolto l'esercizio 10: il procedimento è identico!
Ok grazie, adesso ci darò un occhiata.
Ho solo un paio di dubbio riguardo. Il determinante nell'esercizio e teoricamente parlando nella molteplicità algebrica e geometrica
grazie.
Ho solo un paio di dubbio riguardo. Il determinante nell'esercizio e teoricamente parlando nella molteplicità algebrica e geometrica
grazie.
"Ard":
Ok grazie, adesso ci darò un occhiata.
Ho solo un paio di dubbio riguardo. Il determinante nell'esercizio e teoricamente parlando nella molteplicità algebrica e geometrica
Quale esercizio?
Per le molteplicità puoi guardare qui.
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