Esempi di applicazioni lineari

[dilettascat]

Stamani avevo il tanto temuto esame di Analisi I, e nella parte riguardante la teoria chiedeva, dopo aver dato la definizione di applicazione lineare e di biunivocità, di fornire degli esempi di:

1) funzione lineare biunivoca
2) funzione lineare non biunivoca
3) funzione non lineare biunivoca
4) funzione non lineare non biunivoca

Io, anche se non sono molto convinta di quanto ho fatto, ho messo in ordine: 1) una qualsiasi funzione f tale che x=y, 2) funzione esponenziale, 3) un qualsiasi quadrato di binomio, 4) un qualsiasi polinomio di grado dispari.
Vorrei sapere che ne pensate, e sinceramente spero di averne azzeccate almeno due perché ne va della mia promozione o bocciatura all'esame.

[apatriarca]

1. Esiste una sola funzione tale che \(f(x) = x\) ed è l'identità. Si tratta comunque sicuramente di una mappa lineare biunivoca. Anche qualcosa come \(f(x) = \alpha\,x\) per un qualsiasi valore di \(\alpha \neq 0\) lo è.

2. La funzione esponenziale non è lineare in quando \( e^{x+y} = e^x\,e^y \neq e^x + e^y. \) Inoltre è invertibile per cui questo punto è completamente sbagliato. Credo che l'unico esempio di funzione lineare non biunivoca sui reali sia \( f(x) = 0 \) (la funzione costante uguale a zero). Se ci alziamo di dimensione le cose cambiano.

3. e 4. sono sbagliati. Ci sono certamente dei polinomi di grado dispari che sono non lineari e non biunivoci, ma non vale per tutti. \( f(x) = x^3 \) è invertibile su tutta l'immagine. \( f(x) = x^2 \) invece non è biunivoca (lo è solo se ci si limita ai reali positivi).

Direi che hai capito molto poco di queste cose. Ma almeno hai idea di quali siano le definizioni?