Esame algebra lineare e geometria aiuto!
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salve a tutti cerco un aiuto vitale. chi mi può risolvere questo esame? non riesco proprio a farlo, e se lo faccio non sono sicuro se sia giusto, datemi una mano per favore grazieeeee
salve a tutti cerco un aiuto vitale. chi mi può risolvere questo esame? non riesco proprio a farlo, e se lo faccio non sono sicuro se sia giusto, datemi una mano per favore grazieeeee
Risposte
Ciao e benvenuto sul forum.
Un paio di cose:
1. Prova a guardare come si scrivono le formule
2. Prova a postare i tuoi tentativi, poi li guardiamo insieme
Un paio di cose:
1. Prova a guardare come si scrivono le formule
2. Prova a postare i tuoi tentativi, poi li guardiamo insieme
il primo esercizio non ho proprio la piu pallida idea di come farlo.
per il secondo la teoria la so ma non riesco ad applicarla. so quando un' applicazione è lineare e so come si fa a fare la matrice associata. della numero 2 non so fare iii, quando si pone un vettore.
per il secondo la teoria la so ma non riesco ad applicarla. so quando un' applicazione è lineare e so come si fa a fare la matrice associata. della numero 2 non so fare iii, quando si pone un vettore.
Benvenuto. Come ha detto minomic ti chiedo di usare il sistema per scrivere le formule, come richiede il regolamento (vedi topic nella sezione Il nostro forum).
Provo a darti qualche indizio così puoi postare un po' di tentativi:
Es. 1: devi applicare la definizione di sottospazio, cioè verificare che le proprietà richieste dalla definizione vengano verificate. Ad esempio, siano $A,B\in U$, ci chiediamo $A+B\in U$? Per ipotesi sappiamo che $Ae_1 = 0, B e_1 = 0$. Dobbiamo verificare che $(A+B)e_1 = 0$ ma questo è vero per la proprietà distributiva del prodotto tra matrici dato che $(A+B)e_1 = Ae_1 + Be_1 = 0+0$. Prova a verificare tu le altre proprietà richieste dalla definizione di sottospazio.
Per la seconda parte, prendi una matrice generica $A\in M_{3,2}$ e scrivi esplicitamente il sistema $Ae_1 = 0$ per avere le equazioni di $U$, parti così.
Es. 2 (iii) devi discutere il sistema lineare $T_{k^*} ((x),(y),(z)) = ((u),(1),(-1))$ al variare del parametro $u$. Rouché Capelli & company...
Paola
Provo a darti qualche indizio così puoi postare un po' di tentativi:
Es. 1: devi applicare la definizione di sottospazio, cioè verificare che le proprietà richieste dalla definizione vengano verificate. Ad esempio, siano $A,B\in U$, ci chiediamo $A+B\in U$? Per ipotesi sappiamo che $Ae_1 = 0, B e_1 = 0$. Dobbiamo verificare che $(A+B)e_1 = 0$ ma questo è vero per la proprietà distributiva del prodotto tra matrici dato che $(A+B)e_1 = Ae_1 + Be_1 = 0+0$. Prova a verificare tu le altre proprietà richieste dalla definizione di sottospazio.
Per la seconda parte, prendi una matrice generica $A\in M_{3,2}$ e scrivi esplicitamente il sistema $Ae_1 = 0$ per avere le equazioni di $U$, parti così.
Es. 2 (iii) devi discutere il sistema lineare $T_{k^*} ((x),(y),(z)) = ((u),(1),(-1))$ al variare del parametro $u$. Rouché Capelli & company...
Paola
scusatemi ma per scrivere una formula ci metto 10 minuti quindi se dovessi scrivere un esercizio impiegherei un pomeriggio. posso metterci le foto?
Io per risponderti ce ne metto più di 10 di minuti, allora smetto, va bene così?
Ma senti te...
Paola
Ma senti te...
Paola
scusami ma credevo che per voi fosse veloce scrivere, dato che sono nuovo non sono a conoscenza di tutto.
dopo aver verificato la somma di spazi vettoriali ora trovo se c è anche il prodotto per uno scalare, e quindi:
se ho \( \\\lambda\\ \) (appartiene a) \( \RR\ \) e A (appartiene a) U diremo che \( \\\lambda\\ \)A \( \\in\ \) U.
supponiamo che \( \\A_{e1}\ \)=0 dobbiamo verificare se \( \\\lambda\\ \)\( \\A_{e1}\ \)=0. questo è certamente vero poichè 0 moltiplicato per qualsiasi numero che appartiene all insieme R equivale a 0 quindi U sarà sicuramente un sottospazio vettoriale.
spero cosi vada meglio
ora mi chiede di trovare base e dimensione quindi devo supporre una matrice di testa mia e trovare la base e la dimensione della matrice che scelgo io?
dopo aver verificato la somma di spazi vettoriali ora trovo se c è anche il prodotto per uno scalare, e quindi:
se ho \( \\\lambda\\ \) (appartiene a) \( \RR\ \) e A (appartiene a) U diremo che \( \\\lambda\\ \)A \( \\in\ \) U.
supponiamo che \( \\A_{e1}\ \)=0 dobbiamo verificare se \( \\\lambda\\ \)\( \\A_{e1}\ \)=0. questo è certamente vero poichè 0 moltiplicato per qualsiasi numero che appartiene all insieme R equivale a 0 quindi U sarà sicuramente un sottospazio vettoriale.
spero cosi vada meglio
ora mi chiede di trovare base e dimensione quindi devo supporre una matrice di testa mia e trovare la base e la dimensione della matrice che scelgo io?
Prova a rivedere le formule perchè si capisce davvero poco. Puoi usare il bottone "Anteprima" per controllare prima di postare.
"boateng7":
scusami ma credevo che per voi fosse veloce scrivere, dato che sono nuovo non sono a conoscenza di tutto.
dopo aver verificato la somma di spazi vettoriali ora trovo se c è anche il prodotto per uno scalare, e quindi:
se ho \( \lambda \in \mathbb{R} \) e \(A \in U\) diremo che \( \lambda A \in U\).
supponiamo che \( A e_1 = 0\) dobbiamo verificare se \( \lambda A e_1 =0\). questo è certamente vero poichè 0 moltiplicato per qualsiasi numero che appartiene all insieme R equivale a 0 quindi U sarà sicuramente un sottospazio vettoriale.
ora mi chiede di trovare base e dimensione quindi devo supporre una matrice di testa mia e trovare la base e la dimensione della matrice che scelgo io?
Ti ho modificato le formule per rendere il messaggio leggibile. Puoi usare il tasto "Cita" per vedere come ho fatto.
PS. Non ho cambiato niente, ho solo interpretato quello che secondo me volevi dire.
Scriviamo la matrice generica $A=((x_1, x_2),(x_3, x_4),(x_5,x_6))$ e la condizione di appartenenza a $U$, cioè
$Ae_1 =0$ ovvero
$\{(x_1=0),(x_3=0),(x_5=0):}$
quindi il sottospazio $U$ si riscrive come $U=\{ ((0,x),(0,y),(0,z)) : x,y,z \in\mathbb{R}\}\subset M_{3,2}(\mathbb{R})$. Una base ce l'hai subito, sarà formata dalle matrici $((0,1),(0,0),(0,0)),((0,0),(0,1),(0,0)),((0,0),(0,0),(0,1))$, dimensione $3$ quindi.
Paola
$Ae_1 =0$ ovvero
$\{(x_1=0),(x_3=0),(x_5=0):}$
quindi il sottospazio $U$ si riscrive come $U=\{ ((0,x),(0,y),(0,z)) : x,y,z \in\mathbb{R}\}\subset M_{3,2}(\mathbb{R})$. Una base ce l'hai subito, sarà formata dalle matrici $((0,1),(0,0),(0,0)),((0,0),(0,1),(0,0)),((0,0),(0,0),(0,1))$, dimensione $3$ quindi.
Paola
grazie milee!!!!!! ora provo a fare il secondo esercizio, appena fatto lo posto cosi se volete potete verificare se l ho risolto correttamente. grazie ancora.
esercizio 2
devo dimostrare che per qualunque K l applicazione \( \\T_{k}\) è lineare. per fare faccio la somma ed il prodotto per uno scalare e valuto i vari valori di k. cioè con k minore di 0 maggiore di 0 o uguale a 0.
i) Data A= $((2x,-y,.2z),(x,-2z),(x,ky,z(1-3k)))$ (dovrebbe essere sotto forma di matrice). comunque io gia da qui mi accorgo intuitivamente che il parametro k è sempre moltiplicato per uno dei valori di x y o z e quindi non va a influire su quello che puo essere il prodotto o la somma per scalari. se il valore k non fosse moltiplicato per x y o z allora l applicazione non era lineare per alcuni valori.
la matrice associata rispetto alla base canonca è:
\( \\T_{e1}\)= $(1,0,0)$ \( \\T_{e2}\)= $(0,1,0)$ \( \\T_{e3}\)= $(0,0,1)$
e avremo data Tk= $((2,1,1),(-1,0,k),(-2,-2,1-3k))$
ii)ora devo vedere per quali valori di k, Tk può essere iniettiva o surgettiva.
Tk è iniettiva se il nucleo di Tk è uguale a 0, mentre per essere surgettiva la dimIm(Tk)=3= $RR^{3}$
ora il problema e che non riesco a fare la riduzione a scala della matrice perchè col parametro k lo trovo difficile.
poi sono bloccato perche la iii) non posso farla se non faccio la ii)
devo dimostrare che per qualunque K l applicazione \( \\T_{k}\) è lineare. per fare faccio la somma ed il prodotto per uno scalare e valuto i vari valori di k. cioè con k minore di 0 maggiore di 0 o uguale a 0.
i) Data A= $((2x,-y,.2z),(x,-2z),(x,ky,z(1-3k)))$ (dovrebbe essere sotto forma di matrice). comunque io gia da qui mi accorgo intuitivamente che il parametro k è sempre moltiplicato per uno dei valori di x y o z e quindi non va a influire su quello che puo essere il prodotto o la somma per scalari. se il valore k non fosse moltiplicato per x y o z allora l applicazione non era lineare per alcuni valori.
la matrice associata rispetto alla base canonca è:
\( \\T_{e1}\)= $(1,0,0)$ \( \\T_{e2}\)= $(0,1,0)$ \( \\T_{e3}\)= $(0,0,1)$
e avremo data Tk= $((2,1,1),(-1,0,k),(-2,-2,1-3k))$
ii)ora devo vedere per quali valori di k, Tk può essere iniettiva o surgettiva.
Tk è iniettiva se il nucleo di Tk è uguale a 0, mentre per essere surgettiva la dimIm(Tk)=3= $RR^{3}$
ora il problema e che non riesco a fare la riduzione a scala della matrice perchè col parametro k lo trovo difficile.
poi sono bloccato perche la iii) non posso farla se non faccio la ii)
La matrice associata ad un'applicazione lineare è quella matrice che ha come colonne le immagini dei vettori della base (in questo caso canonica), quindi se ho capito bene quello che hai fatto devi trasporre la tua matrice.
Appurato che la matrice è$$
\left(
\begin{matrix}
2&-1&-2\\1&0&-2\\1&k&1-3k
\end{matrix}
\right)
$$trovare il $Ker$ significa risolvere il sistema omogeneo che ha quella matrice come associata. In sostanza dobbiamo discutere il rango della matrice, al variare di $k$. Effettivamente con il metodo della riduzione a scala non è sempre comodo ma possiamo seguire un'altra strada. Si tratta di una matrice $3 \times 3$ quindi quadrata. Calcoliamo il determinante che viene... poi guardiamo quando si annulla. Concludiamo che quando il determinante non si annulla il rango è $3$, quindi la soluzione è unica e l'applicazione è iniettiva, mentre se il determinante si annulla (cioè per alcuni valori di $k$) sostituiamo i valori a $k$ e vediamo che succede.
\left(
\begin{matrix}
2&-1&-2\\1&0&-2\\1&k&1-3k
\end{matrix}
\right)
$$trovare il $Ker$ significa risolvere il sistema omogeneo che ha quella matrice come associata. In sostanza dobbiamo discutere il rango della matrice, al variare di $k$. Effettivamente con il metodo della riduzione a scala non è sempre comodo ma possiamo seguire un'altra strada. Si tratta di una matrice $3 \times 3$ quindi quadrata. Calcoliamo il determinante che viene... poi guardiamo quando si annulla. Concludiamo che quando il determinante non si annulla il rango è $3$, quindi la soluzione è unica e l'applicazione è iniettiva, mentre se il determinante si annulla (cioè per alcuni valori di $k$) sostituiamo i valori a $k$ e vediamo che succede.
esercizio 3
nello spazio sono assegnate le rette $\gamma$ di equazioni cartesiane $\{(-2x+2y=-5),(x-2z=1):}$ , ed s di equazioni parametriche nel parametro t $\{(x=t),(y=3t),(z=-t-2/3):}$
i)devo verificare che queste due rette non siano parallele. nanzitutto pongo entrambe le rette in forma parametrica, quindi avremo $\gamma$ $\{(x=w+5/2),(y=w),(z=w/2+3/4):}$. le due rette non sono parallele se:
il rango di $|(1,3,-1),(1,1,1/2)|$ $!=$ 1
il rango di questa matrice dovrebbe essere 2 quindi le rette non sono parallele.
ii)vedere se le rette sono sghembe o incidenti
nello spazio sono assegnate le rette $\gamma$ di equazioni cartesiane $\{(-2x+2y=-5),(x-2z=1):}$ , ed s di equazioni parametriche nel parametro t $\{(x=t),(y=3t),(z=-t-2/3):}$
i)devo verificare che queste due rette non siano parallele. nanzitutto pongo entrambe le rette in forma parametrica, quindi avremo $\gamma$ $\{(x=w+5/2),(y=w),(z=w/2+3/4):}$. le due rette non sono parallele se:
il rango di $|(1,3,-1),(1,1,1/2)|$ $!=$ 1
il rango di questa matrice dovrebbe essere 2 quindi le rette non sono parallele.
ii)vedere se le rette sono sghembe o incidenti
potreste darmi un aiuto a questi due esercizi che non so come fare?
1) trovare la retta a cui appartengono i centri di sfere che sono tangenti al piano $x=3$ nel punto $(3,0,3)$; trovare il centro e il raggio della sfera $S$ che, oltre ad essere tangente al piano $x=3$ nel punto $(3,0,3)$, passa per $(0,0,0)$. scrivere le equazioni cartesiane della circonferenza che è la sezone di $S$ con il piano $x=y$
2)determinare la direzione degli assi il centro e il tipo di conica C di equazione $15x^2+8xy+8y=0$. chiede anche di trovare la sua forma canonica ma questo lo so fare perche bisogna risalire al tipo ti conica risolvendo l equzione e trovare la sua generica cioè X=polinomio Y=polinomio nel sistema e poi sotituire. giusto?
1) trovare la retta a cui appartengono i centri di sfere che sono tangenti al piano $x=3$ nel punto $(3,0,3)$; trovare il centro e il raggio della sfera $S$ che, oltre ad essere tangente al piano $x=3$ nel punto $(3,0,3)$, passa per $(0,0,0)$. scrivere le equazioni cartesiane della circonferenza che è la sezone di $S$ con il piano $x=y$
2)determinare la direzione degli assi il centro e il tipo di conica C di equazione $15x^2+8xy+8y=0$. chiede anche di trovare la sua forma canonica ma questo lo so fare perche bisogna risalire al tipo ti conica risolvendo l equzione e trovare la sua generica cioè X=polinomio Y=polinomio nel sistema e poi sotituire. giusto?
potreste darmi un aiuto a questi due esercizi che non so come fare?
1) trovare la retta a cui appartengono i centri di sfere che sono tangenti al piano $x=3$ nel punto $(3,0,3)$; trovare il centro e il raggio della sfera $SS$
1) trovare la retta a cui appartengono i centri di sfere che sono tangenti al piano $x=3$ nel punto $(3,0,3)$; trovare il centro e il raggio della sfera $SS$
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