Equivalenza tra metriche
Buon pomeriggio a tutti. Desideravo sapere come poter dimostrare l'equivalenza tra la metrica $d_1(x,y)=d_2(x,y)$, con la metrica $d_1(x,y)$ così definita:
$(d_2(x,y))/(1+d_2(x,y))$ se $d_2(x,y)<=1$
$1$ se $d_2(x,y)>1$
Ho sinora verificato gli assiomi per la metrica $d_2(x,y)$ ma non credo servano ai fini della dimostrazione di equivalenza. Sono a vostra disposizione. Grazie per l'aiuto.
p.s. su internet non vi sono molte informazioni sull'equivalenza tra metriche
Alessandro
$(d_2(x,y))/(1+d_2(x,y))$ se $d_2(x,y)<=1$
$1$ se $d_2(x,y)>1$
Ho sinora verificato gli assiomi per la metrica $d_2(x,y)$ ma non credo servano ai fini della dimostrazione di equivalenza. Sono a vostra disposizione. Grazie per l'aiuto.
p.s. su internet non vi sono molte informazioni sull'equivalenza tra metriche
Alessandro
Risposte
Siano $d_1$ e $d_2$ due metriche su uno spazio topologico $X$.
Si dice che $d_1$ e $d_2$ sono equivalenti se e solo se, per definizione (o almeno la definizione che conosco io), esistono $alpha,beta>0$ tali che $alpha d_2(x,y)\le d_1(x,y)\le beta d_2(x,y)$ per ogni $x,y\in X$.
Puoi provare che se la relazione di equivalenza fra metriche su uno spazio topologico è una relazione di equivalenza (scusa il bisticcio di parole).
Inoltre, date due metriche equivalenti $d_1$ e $d_2$, una successione di elementi di $X$ converge rispetto a $d_1$ se e solo se converge rispetto a $d_2$.
Detto questo, vuoi provare che, se $d_2$ è una metrica su uno spazio topologico $X$ tale che $d_2(x,y)\le 1$ ($\forall\ x,y\in X$), posto per ogni $x,y\in X$
$d_1(x,y)=\frac{d_2(x,y)}{1+d_2(x,y)}$
allora si ha che
1) $d_1$ è una metrica su $X$ (e questo mi sembra che tu l'abbia fatto);
2) $d_1$ è una metrica equivalente a $d_2$.
Ora che sai cosa devi dimostrare, prova a farlo tu. 2) non è complicato. Se hai qualche problema fai un fischio.
Si dice che $d_1$ e $d_2$ sono equivalenti se e solo se, per definizione (o almeno la definizione che conosco io), esistono $alpha,beta>0$ tali che $alpha d_2(x,y)\le d_1(x,y)\le beta d_2(x,y)$ per ogni $x,y\in X$.
Puoi provare che se la relazione di equivalenza fra metriche su uno spazio topologico è una relazione di equivalenza (scusa il bisticcio di parole).
Inoltre, date due metriche equivalenti $d_1$ e $d_2$, una successione di elementi di $X$ converge rispetto a $d_1$ se e solo se converge rispetto a $d_2$.
Detto questo, vuoi provare che, se $d_2$ è una metrica su uno spazio topologico $X$ tale che $d_2(x,y)\le 1$ ($\forall\ x,y\in X$), posto per ogni $x,y\in X$
$d_1(x,y)=\frac{d_2(x,y)}{1+d_2(x,y)}$
allora si ha che
1) $d_1$ è una metrica su $X$ (e questo mi sembra che tu l'abbia fatto);
2) $d_1$ è una metrica equivalente a $d_2$.
Ora che sai cosa devi dimostrare, prova a farlo tu. 2) non è complicato. Se hai qualche problema fai un fischio.
Ciao cirasa. Ho provato a verificare gli assiomi applicandoli a $d_1(x,y)=(d_2(x,y))/(1+d_2(x,y))$
Ho visto che soddisfa le condizioni....nn ho ben capito come fare a provare l'equivalenza..
Per quanto riguarda le successioni convergenti: ho provato a svolgere in questo modo.
Se $x_n->y $ allora $d_2(x_n,y)->0$
Poichè ho $d_1=(d_2(x_n,y))/(1+d_2(x_n,y))0$
allora considero $d_2(x_n,y)<=1$ poichè $d_2(x_n,y)->0$
adesso però come proseguo?
Per quanto riguarda invece la definizione di equivalenza, se la applico a $d_1(x,y)=1$ se $d_2(x,y)>1$ dovrei ottenere, sostituendo:
$alpha*d_2(x,y)<=1<=beta*d_2(x,y)$ ...ma come traggo le conclusioni?
Ho visto che soddisfa le condizioni....nn ho ben capito come fare a provare l'equivalenza..
Per quanto riguarda le successioni convergenti: ho provato a svolgere in questo modo.
Se $x_n->y $ allora $d_2(x_n,y)->0$
Poichè ho $d_1=(d_2(x_n,y))/(1+d_2(x_n,y))
allora considero $d_2(x_n,y)<=1$ poichè $d_2(x_n,y)->0$
adesso però come proseguo?
Per quanto riguarda invece la definizione di equivalenza, se la applico a $d_1(x,y)=1$ se $d_2(x,y)>1$ dovrei ottenere, sostituendo:
$alpha*d_2(x,y)<=1<=beta*d_2(x,y)$ ...ma come traggo le conclusioni?
Forse mi sono spiegato male...
Tu hai una metrica $d_2$ tale che $d_2(x,y)\le 1$.
Poni $d_1(x,y)$ come sopra.
Devi provare che $d_2$ è equivalente a $d_1$, cioè che esistono $alpha$ e $beta$ tali che per ogni $x,y$ si abbia $alpha d_2(x,y)\le d_1(x,y)\le beta d_2(x,y)$.
Una volta fatto ciò, hai in automatico che se una successione converge rispetto a $d_2$ allora converge anche rispetto a $d_1$ e viceversa (se vuoi ti scrivo i dettagli di questa equivalenza).
Tu hai una metrica $d_2$ tale che $d_2(x,y)\le 1$.
Poni $d_1(x,y)$ come sopra.
Devi provare che $d_2$ è equivalente a $d_1$, cioè che esistono $alpha$ e $beta$ tali che per ogni $x,y$ si abbia $alpha d_2(x,y)\le d_1(x,y)\le beta d_2(x,y)$.
Una volta fatto ciò, hai in automatico che se una successione converge rispetto a $d_2$ allora converge anche rispetto a $d_1$ e viceversa (se vuoi ti scrivo i dettagli di questa equivalenza).
ho modificato sopra...tuttavia, non ho capito come fare a provare che vale la disuguaglianza per ogni x,y...E' la prima volta che affronto esercizi di questo tipo
Per ogni $x,y\in X$ si ha che
$1\le 1+d_2(x,y)\le 2$
(qui ho sfruttato l'ipotesi che $d_2(x,y)\le 1$)
Passando ai reciproci
$\frac{1}{2}\le \frac{1}{1+d_2(x,y)} \le 1$.
Moltiplicando per $d_2(x,y)\ge 0$
$\frac{1}{2}d_2(x,y)\le \frac{d_2(x,y)}{1+d_2(x,y)}=d_1(x,y) \le d_2(x,y)$.
Quindi $d_1$ e $d_2$ sono equivalenti perchè per ogni $x,y\in X$
$alpha d_2(x,y)\le d_1(x,y) \le beta d_2(x,y)$
dove $alpha=1/2$ e $beta=1$.
Qui si conclude il tuo esercizio.
Per completezza provo che se $d_1$ e $d_2$ sono equivalenti ($alpha d_2(x,y)\le d_1(x,y) \le beta d_2(x,y)$ per ogni $x,y\in X$), allora una successione converge in $d_1$ se e solo se converge in $d_2$.
Sia $(x_n)_{n\in NN}$ una successione di elementi di $X$.
Se tale successione converge a $y\in X$ in $d_1$, cioè $d_1(x_n,y)\to 0$, allora $d_2(x,y)\le \frac{1}{alpha}d_1(x,y)\to 0$.
Se $(x_n)_{n\in NN}$ converge a $y\in X$ in $d_2$, cioè $d_2(x_n,y)\to 0$, allora $d_1(x,y)\le \beta d_2(x,y)\to 0$.
Spero di averti aiutato
$1\le 1+d_2(x,y)\le 2$
(qui ho sfruttato l'ipotesi che $d_2(x,y)\le 1$)
Passando ai reciproci
$\frac{1}{2}\le \frac{1}{1+d_2(x,y)} \le 1$.
Moltiplicando per $d_2(x,y)\ge 0$
$\frac{1}{2}d_2(x,y)\le \frac{d_2(x,y)}{1+d_2(x,y)}=d_1(x,y) \le d_2(x,y)$.
Quindi $d_1$ e $d_2$ sono equivalenti perchè per ogni $x,y\in X$
$alpha d_2(x,y)\le d_1(x,y) \le beta d_2(x,y)$
dove $alpha=1/2$ e $beta=1$.
Qui si conclude il tuo esercizio.
Per completezza provo che se $d_1$ e $d_2$ sono equivalenti ($alpha d_2(x,y)\le d_1(x,y) \le beta d_2(x,y)$ per ogni $x,y\in X$), allora una successione converge in $d_1$ se e solo se converge in $d_2$.
Sia $(x_n)_{n\in NN}$ una successione di elementi di $X$.
Se tale successione converge a $y\in X$ in $d_1$, cioè $d_1(x_n,y)\to 0$, allora $d_2(x,y)\le \frac{1}{alpha}d_1(x,y)\to 0$.
Se $(x_n)_{n\in NN}$ converge a $y\in X$ in $d_2$, cioè $d_2(x_n,y)\to 0$, allora $d_1(x,y)\le \beta d_2(x,y)\to 0$.
Spero di averti aiutato
Cirasa...per fortuna hai illustrato i passaggi perchè io ero completamente fuori strada 
. Ho perso un pò prima di capire il primo passaggio. Poi mi sono reso conto dell'aver imposto ( per def. ) $0<=d_2(x,y)<=1$ e aver sommato 1 ad ambo i membri. Non mi era chiaro il discorso su come determinare i coefficienti..adesso è tutto chiaro. Grazie per l'aiuto. Vedrò di svolgere altri esercizi simili così da mettere in pratica il procedimento...grazie davvero. Dovessi aver ancora bisogno del tuo aiuto....faccio un fischio! 
alessandro
. Ho perso un pò prima di capire il primo passaggio. Poi mi sono reso conto dell'aver imposto ( per def. ) $0<=d_2(x,y)<=1$ e aver sommato 1 ad ambo i membri. Non mi era chiaro il discorso su come determinare i coefficienti..adesso è tutto chiaro. Grazie per l'aiuto. Vedrò di svolgere altri esercizi simili così da mettere in pratica il procedimento...grazie davvero. Dovessi aver ancora bisogno del tuo aiuto....faccio un fischio! alessandro
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