Equazione iperbole equilatera
salve, mi servirebbe una mano con questo esercizio
Si fissi in E2 un riferimento cartesiano $R = (O; B)$.
(a) Si determini un'equazione dell'iperbole equilatera passante per il punto $A(2; 2)$, avente la retta $a : x - y + 1 = 0$ come asintoto, e tale che i punti $P(2; 0)$ e $Q(0; 3)$ siano coniugati rispetto a essa.
(b) Si determinino l'altro asintoto, gli assi e i vertici.
allora...dato che l'iperbole è equilatera, i due asintoti sono perpendicolari, quindi il secondo avrà equazione $x+y+k=0$
$P$ e $Q$ sono coniugati, quindi la polare di $P$ sarà una retta del fascio proprio di centro Q, cioè $y=mx+3$ e analogamente la polare di $Q$ andrà cercata tra le rette $y=mx-2m=0$...fin qui ci sono, poi mi perdo
avevo pensato di scrivere un fascio di iperboli equilatere e poi cercarmi quella richiesta imponendo il passaggio per il punto $A$...il problema è che non so quali generatrici usare
Si fissi in E2 un riferimento cartesiano $R = (O; B)$.
(a) Si determini un'equazione dell'iperbole equilatera passante per il punto $A(2; 2)$, avente la retta $a : x - y + 1 = 0$ come asintoto, e tale che i punti $P(2; 0)$ e $Q(0; 3)$ siano coniugati rispetto a essa.
(b) Si determinino l'altro asintoto, gli assi e i vertici.
allora...dato che l'iperbole è equilatera, i due asintoti sono perpendicolari, quindi il secondo avrà equazione $x+y+k=0$
$P$ e $Q$ sono coniugati, quindi la polare di $P$ sarà una retta del fascio proprio di centro Q, cioè $y=mx+3$ e analogamente la polare di $Q$ andrà cercata tra le rette $y=mx-2m=0$...fin qui ci sono, poi mi perdo
avevo pensato di scrivere un fascio di iperboli equilatere e poi cercarmi quella richiesta imponendo il passaggio per il punto $A$...il problema è che non so quali generatrici usare
Risposte
L'idea del fascio va bene.Come punti base ,secondo me,puoi prendere i punti seguenti:
\(\displaystyle R_{\infty} (1,1,0) ,R_{\infty}(1,1,0)\)
\(\displaystyle A (2,2,1),S_{\infty}(1,-1,0)\)
I primi due rappresentano la direzione dell'asintoto conosciuto,il punto A è dato ed infine il quarto punto rappresenta la direzione dell'asintoto perpendicolare a quello dato.Di conseguenza il fascio di iperboli si può simbolicamente scrivere come:
\(\displaystyle \lambda(R_{\infty} R_{\infty} )(AS_{\infty})+\mu(AR_{\infty})(R_{\infty}S_{\infty})=0\)
Passando direttamente a coordinate cartesiane si ha allora l'equazione del fascio:
\(\displaystyle \lambda(x^2-y^2-3x+5y-4)+\mu(x-y)=0 \)
Imponendo il coniugio di P e Q rispetto alla generica conica del fascio ( ovvero imponendo ,ad esempio,che Q appartenga alla polare di P ) si trova \(\displaystyle \lambda=\mu \) e quindi l'equazione richiesta è:
\(\displaystyle x^2-y^2-2x+4y-4=0 \)
Poi con formule e procedimenti noti si trova il resto.Tuttavia se vuoi evitare calcoli puoi osservare che l'equazione trovata si scrive anche così:
\(\displaystyle (x-1)^2-(y-2)^2=1 \)
da cui ,con una semplice traslazione si riconosce che :
A)Il centro è \(\displaystyle C(1,2) \)
B)Gli asintoti sono le rette \(\displaystyle y-2=\pm(x-1) \) da cui si ricavano l'asintoto noto e l'altro asintoto di equazione \(\displaystyle x+y-3=0 \)
C) Gli assi sono le rette \(\displaystyle x=1,y=2 \)
D) i vertici sono le intersezioni della iperbole con l'asse ( trasverso) \(\displaystyle y=2 \) e precisamente i punti \(\displaystyle V_1(0,2) ,V_2(2,2) \).Uno dei vertici coincide quindi col punto dato A.
\(\displaystyle R_{\infty} (1,1,0) ,R_{\infty}(1,1,0)\)
\(\displaystyle A (2,2,1),S_{\infty}(1,-1,0)\)
I primi due rappresentano la direzione dell'asintoto conosciuto,il punto A è dato ed infine il quarto punto rappresenta la direzione dell'asintoto perpendicolare a quello dato.Di conseguenza il fascio di iperboli si può simbolicamente scrivere come:
\(\displaystyle \lambda(R_{\infty} R_{\infty} )(AS_{\infty})+\mu(AR_{\infty})(R_{\infty}S_{\infty})=0\)
Passando direttamente a coordinate cartesiane si ha allora l'equazione del fascio:
\(\displaystyle \lambda(x^2-y^2-3x+5y-4)+\mu(x-y)=0 \)
Imponendo il coniugio di P e Q rispetto alla generica conica del fascio ( ovvero imponendo ,ad esempio,che Q appartenga alla polare di P ) si trova \(\displaystyle \lambda=\mu \) e quindi l'equazione richiesta è:
\(\displaystyle x^2-y^2-2x+4y-4=0 \)
Poi con formule e procedimenti noti si trova il resto.Tuttavia se vuoi evitare calcoli puoi osservare che l'equazione trovata si scrive anche così:
\(\displaystyle (x-1)^2-(y-2)^2=1 \)
da cui ,con una semplice traslazione si riconosce che :
A)Il centro è \(\displaystyle C(1,2) \)
B)Gli asintoti sono le rette \(\displaystyle y-2=\pm(x-1) \) da cui si ricavano l'asintoto noto e l'altro asintoto di equazione \(\displaystyle x+y-3=0 \)
C) Gli assi sono le rette \(\displaystyle x=1,y=2 \)
D) i vertici sono le intersezioni della iperbole con l'asse ( trasverso) \(\displaystyle y=2 \) e precisamente i punti \(\displaystyle V_1(0,2) ,V_2(2,2) \).Uno dei vertici coincide quindi col punto dato A.
grazie di cuore 
scusa un'altra domanda...potresti dirmi come arrivi alle equazioni delle varie rette che poi danno le generatrici?...non capisco in particolare come ottieni la prima conica degenere
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