Equazione Fascio di iperboli

[luco89]

Ciao a tutti
mi rivolgo ancora alla community visto che mi siete veramente d'aiuto
Sto provando a risolvere quest'esercizio, premetto che non ho mai avuto a che fare con equazioni del fascio; al massimo ci è stato sempre chiesto di calcolare l'equazione della conica a partire da alcune condizioni, ad esempio le rette degli assi o degli asintoti, il centro ecc.
Ecco il testo

Si scriva l'equazione della famiglia F fascio di iperboli, avente le rette di equazioni $2xy=0$ e $x+2y=0$ come asintoti

Un'altro esercizio analogo dove sono bloccato indica le rette degli assi di simmetria.

Grazie anticipatamente

[mistake89]

Devi costruire il fascio di coniche bitangenti.
Calcola i punti all'infinito della due rette, che chiamiamo $A_\infty$ e $B_infty$.

Allora avrai che il tuo fascio sarà formato dalle tangenti in $A_infty$ e $B_infty$ e dalla retta $[A_infty,B_infty]$.
Le tangenti nei punti all'infinito sono esattamente gli asintoti mentre la retta individuata dai due punti è la retta impropria.
Per cui l'equazione che cerchi è $(2x-y)(x+2y)+kz=0$ ovvero $(2x-y)(x+2y)+k=0$ al variare di $k in RR$.