Equazione ellisse da intersezione di cono e piano
Ciao a tutti! Sto cercando di ricavare l'equazione di un'ellisse che nasce dall'intersezione di un cono, avente asse inclinato rispetto all'asse $ z $, e un piano ad altezza $ z = H $. L'equazione che descrive un cono con asse parallelo al versore $ \mathbf{d} $ dovrebbe essere
$ \left( \mathbf{u} \cdot \mathbf{d} \right)^2 - \| \mathbf{u} \|^2 \cos (\theta) = 0 $
dove $ \mathbf{u} = \left[ x ; y ; z \right] $ e $ \theta $ è la semiapertura del cono. Se il versore che indica l'asse del cono fosse $ \mathbf{d} = \left[ 0 ; \sin(\alpha) ; \cos(\alpha) \right] $, con $ \alpha < \pi / 2 $ angolo rispetto all'asse $ z $, l'equazione diventerebbe
$ \left( y \sin(\alpha) + z \cos(\alpha) \right)^2 - \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \cos (\theta) = 0 $
Mettendola a sistema con $ z = H $ otterrei
$ \left( y \sin(\alpha) + H \cos(\alpha) \right)^2 - \left( x^2 + y^2 + H^2 \right) \cos (\theta) = 0 $
ma non vedo come questa si riconduca alla forma classica dell'equazione dell'ellisse. Dove sto sbagliando? Grazie
$ \left( \mathbf{u} \cdot \mathbf{d} \right)^2 - \| \mathbf{u} \|^2 \cos (\theta) = 0 $
dove $ \mathbf{u} = \left[ x ; y ; z \right] $ e $ \theta $ è la semiapertura del cono. Se il versore che indica l'asse del cono fosse $ \mathbf{d} = \left[ 0 ; \sin(\alpha) ; \cos(\alpha) \right] $, con $ \alpha < \pi / 2 $ angolo rispetto all'asse $ z $, l'equazione diventerebbe
$ \left( y \sin(\alpha) + z \cos(\alpha) \right)^2 - \left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \cos (\theta) = 0 $
Mettendola a sistema con $ z = H $ otterrei
$ \left( y \sin(\alpha) + H \cos(\alpha) \right)^2 - \left( x^2 + y^2 + H^2 \right) \cos (\theta) = 0 $
ma non vedo come questa si riconduca alla forma classica dell'equazione dell'ellisse. Dove sto sbagliando? Grazie
Risposte
Se con "cono" intendi "cono circolare retto con vertice nell'origine", allora ti sei dimenticato "solo" un quadrato sul coseno di \(\theta\). Fine.
Quindi, essendo assente il termine rettangolare \(x\,y\), vuol dire che la conica in esame non è ruotata, bensì è solo traslata nel piano \(z=H\).
Pertanto, manipolando, ci si può ricondurre a \(\frac{(x-x_c)^2}{a^2}+\frac{(y-y_c)^2}{b^2}=1\), dove:
\(x_c=0\)
\(y_c=\frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos^2(\theta)-\sin^2(\alpha)}H\)
\(a^2=\frac{\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)-\sin^2(\alpha)}H^2\)
\(b^2=\frac{\sin^2(\theta)\cos^2(\theta)}{(\cos^2(\theta)-\sin^2(\alpha))^2}H^2\)
Dunque, se \(\cos^2(\theta)-\sin^2(\alpha)>0\), ossia se \(\sin^2(\alpha)<\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\), ossia se \(\alpha<\frac{\pi}{2}-\theta\) si ottiene effettivamente una ellisse, se \(\alpha>\frac{\pi}{2}-\theta\) con una ritoccatina si ottiene l'equazione di una iperbole, se \(\alpha=\frac{\pi}{2}-\theta\) la conica non è a centro, bensì è una parabola, la cui equazione si ottiene ricominciando dall'inizio, da cui \(y=\frac{\cot(\theta)}{2H}x^2+H\cot(2\theta)\). Fine.
Quindi, essendo assente il termine rettangolare \(x\,y\), vuol dire che la conica in esame non è ruotata, bensì è solo traslata nel piano \(z=H\).
Pertanto, manipolando, ci si può ricondurre a \(\frac{(x-x_c)^2}{a^2}+\frac{(y-y_c)^2}{b^2}=1\), dove:
\(x_c=0\)
\(y_c=\frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos^2(\theta)-\sin^2(\alpha)}H\)
\(a^2=\frac{\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)-\sin^2(\alpha)}H^2\)
\(b^2=\frac{\sin^2(\theta)\cos^2(\theta)}{(\cos^2(\theta)-\sin^2(\alpha))^2}H^2\)
Dunque, se \(\cos^2(\theta)-\sin^2(\alpha)>0\), ossia se \(\sin^2(\alpha)<\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\), ossia se \(\alpha<\frac{\pi}{2}-\theta\) si ottiene effettivamente una ellisse, se \(\alpha>\frac{\pi}{2}-\theta\) con una ritoccatina si ottiene l'equazione di una iperbole, se \(\alpha=\frac{\pi}{2}-\theta\) la conica non è a centro, bensì è una parabola, la cui equazione si ottiene ricominciando dall'inizio, da cui \(y=\frac{\cot(\theta)}{2H}x^2+H\cot(2\theta)\). Fine.
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