Equazione di un piano che contiene r e l'origine

[mrs_jill]

Salve a tutti, avrei bisogno di delucidazioni riguardo un esercizio che come da titolo richiede di determinare l'equazione di un piano \(\displaystyle Π \) che contiene la retta r (in R^3) e l'origine.

Quindi, data la r di equazione

$ { ( x - y + z = 1 ),( x + 2z = 0 ):} $

trovo il piano \(\displaystyle Π \) che appartiene al fascio di piani generato da r e di equazione
\(\displaystyle λ(x - y + z - 1) + µ(x + 2z) = 0 \)

e fin qui ok, però poi come impongo che O appartenga al piano?

[vpindarico]

$x=0, y=0, z=0$ deve soddisfare l'equazione del fascio, da cui $\lambda=0$ e il piano cercato è $x+2z=0$.

[mrs_jill]

Grazie per la risposta repentina!
In realtà però non mi è chiaro come trovare che il parametro \(\displaystyle λ = 0 \)
cioè so che l'origine si trova a x = 0 y = 0 e z = 0 ma nell'equazione come lo applico in pratica?
se potessi scriverlo passaggio per passaggio te ne sarei grata!

comunque ho trovato la stessa soluzione ricavando dal sistema l'equazione parametrica
$ { ( z = t ),( x = -2t ),( y = 3t -1 ):} $
poi trovando 2 punti \(\displaystyle A ( -2, 2, 1) \) e \(\displaystyle B ( 0, -1, 0) \)
e ponendoli a sistema con la condizione \(\displaystyle d = 0 \)

$ { ( -2a + 2b + c = d ),( -b = d ),( d = 0 ):} $

con a = 1 b = 0 c = 2 d = 0 l'equazione del piano è la stessa, \(\displaystyle x + 2z = 0 \)

[vpindarico]

"mrs_jill":Grazie per la risposta repentina!
In realtà però non mi è chiaro come trovare che il parametro \(\displaystyle λ = 0 \)
cioè so che l'origine si trova a x = 0 y = 0 e z = 0 ma nell'equazione come lo applico in pratica?
se potessi scriverlo passaggio per passaggio te ne sarei grata!

Sostituisci $x=0, y=0, z=0$ nell'equazione del fascio:

$\lambda(0-0+0-1)+\mu(0+2 \cdot 0)=0$
$-\lambda=0$

ok?

[mrs_jill]

ah ecco! l'avevo fatto ma mi sembrava troppo facile e quindi sbagliato! grazie mille

[vpindarico]

In realtà c'era un modo ancora più facile: accorgersi fin da subito che uno dei due piani usati per definire la retta, $x+2z=0$, passa per l'origine, e quindi è il piano cercato.