Equazione del piano passante per 3 punti.. mi blocco
Ciao a tutti sono all'inizio dello studio di Algebra Lineare e Geometria. Stavo provando a fare questo esercizio ma arrivo ad un punto in cui mi blocco. Aiutatemi per favore, vi dico che non ho ancora fatto né le matrici né il determinante.
Trovare l'equazione del piano passante per i tre punti seguenti: $A=( ( 2 ),( 1 ),(1) ) $, $B=((3),(-1),(1))$, $C=((4),(1),(-1))$
ho pensato di fare così..
l'equazione generale della retta è $ax+by+cz=d$
quindi per il punto A è $2a+b+c=d$, per il punto B $3a-b+c=d$, per il punto C $4a+b-c=d$
metto a sistema tenendo d solo nella prima equazione ${(d=2a+b+c),(3a-b+c-d=0),(4a+b-c-d=0):}$ e ora faccio la sostituzione nelle altre 2 equazioni e ottengo
$3a-b+c-2a-b-c=a-2b$
$4a+b-c-2a-b-c=2a-2c=a-c$
ottengo ${(d=2a+b+c),(a-2b=0),(a-c=0):}$
ora purtroppo non so più andare avanti, ho pensato di fare ${(d=2a+b+c),(b=a/2),(a=c):}$, ma è solo che quei parametri non riesco a toglierli.
Un suggerimento per andare avanti?
Grazie in anticipo
Trovare l'equazione del piano passante per i tre punti seguenti: $A=( ( 2 ),( 1 ),(1) ) $, $B=((3),(-1),(1))$, $C=((4),(1),(-1))$
ho pensato di fare così..
l'equazione generale della retta è $ax+by+cz=d$
quindi per il punto A è $2a+b+c=d$, per il punto B $3a-b+c=d$, per il punto C $4a+b-c=d$
metto a sistema tenendo d solo nella prima equazione ${(d=2a+b+c),(3a-b+c-d=0),(4a+b-c-d=0):}$ e ora faccio la sostituzione nelle altre 2 equazioni e ottengo
$3a-b+c-2a-b-c=a-2b$
$4a+b-c-2a-b-c=2a-2c=a-c$
ottengo ${(d=2a+b+c),(a-2b=0),(a-c=0):}$
ora purtroppo non so più andare avanti, ho pensato di fare ${(d=2a+b+c),(b=a/2),(a=c):}$, ma è solo che quei parametri non riesco a toglierli.
Un suggerimento per andare avanti?
Grazie in anticipo
Risposte
Lo vuoi in cartesiane o ti va bene anche vettoriale?
I tuoi conti sono giusti, basta che dai un valore ad a, per esempio $a=2$..
Se ti basta vettoriale potevi risolvere così:
$pi: A+ <(B-A),(C-A)>$
I tuoi conti sono giusti, basta che dai un valore ad a, per esempio $a=2$..
Se ti basta vettoriale potevi risolvere così:
$pi: A+ <(B-A),(C-A)>$
"Maci86":
Lo vuoi in cartesiane o ti va bene anche vettoriale?
I tuoi conti sono giusti, basta che dai un valore ad a, per esempio $a=2$..
Se ti basta vettoriale potevi risolvere così:
$pi: A+ <(B-A),(C-A)>$
la vorrei in cartesiana, in questa forma $ax+by+cz=d$
dal sistema ${(d=2a+b+c),(a-2b=0),(a-c=0):}$
non riesco a ricondurmi alla forma cartesiana..
È tutto uguale a meno di proporzionalità, scegliti un valore per $a$ 
Ti consiglio 2
Ti consiglio 2
forse ho trovato l'equazione cartesiana..
dimmi se ho fatto giusto
da qui ${(d=2a+b+c),(a-2b=0),(a-c=0):}\to {(d=2a+b+c),(b=c/2),(a=c):}\to {(d=2c+c/2+c),(b=c/2),(a=c):}$
ora sostituisco i parametri nell'equazione del piano $ax+by+cz=d$
$cx+c/2 y+cz=2c+c/2+c\to 2cx+cy+2cz=4c+c+2c\to 2x+y+2z=4+1+2\to 2x+y+2z=7$
in pratica il piano ha questa equazione $2x+y+2z=7$
@Maci86
sì potevo sostituire direttamente $a=2$ così mi sarebbe venuto subito ${(d=7),(b=1),(c=2):}$
comunque mi sono perso in un bicchiere d'acqua XD
dimmi se ho fatto giusto
da qui ${(d=2a+b+c),(a-2b=0),(a-c=0):}\to {(d=2a+b+c),(b=c/2),(a=c):}\to {(d=2c+c/2+c),(b=c/2),(a=c):}$
ora sostituisco i parametri nell'equazione del piano $ax+by+cz=d$
$cx+c/2 y+cz=2c+c/2+c\to 2cx+cy+2cz=4c+c+2c\to 2x+y+2z=4+1+2\to 2x+y+2z=7$
in pratica il piano ha questa equazione $2x+y+2z=7$
@Maci86
sì potevo sostituire direttamente $a=2$ così mi sarebbe venuto subito ${(d=7),(b=1),(c=2):}$
comunque mi sono perso in un bicchiere d'acqua XD
"21zuclo":
$ {(d=2a+b+c),(b=a/2),(a=c):} $
@Maci86
mentre tu avresti sostituisco direttamente $a=2$ ? e come facevi a trovare $b$ e $c$ ? mi fai vedere la tua idea?..
${(d=2a+b+c),(b=a/2),(a=c):} rightarrow a=2 , {(d=4+1+2),(b=2/2),(2=c):}$
Quindi viene:
$2x +y +2z=7$
Essendoci un fattore di proporzionalità puoi dividere tutto per un fattore (se questo sei sicuro non sia zero).
"Maci86":
[quote="21zuclo"]$ {(d=2a+b+c),(b=a/2),(a=c):} $
@Maci86
mentre tu avresti sostituisco direttamente $a=2$ ? e come facevi a trovare $b$ e $c$ ? mi fai vedere la tua idea?..
${(d=2a+b+c),(b=a/2),(a=c):} rightarrow a=2 , {(d=4+1+2),(b=2/2),(2=c):}$
Quindi viene:
$2x +y +2z=7$
Essendoci un fattore di proporzionalità puoi dividere tutto per un fattore (se questo sei sicuro non sia zero).[/quote]
ho rimodificato il Messaggio mentre stavi risponendo XD ..va bé comunque grazie del consiglio finale!
grazie!
Il problema è l'acqua, fosse stato vino sarebbe stata un'altra storia!
Una valida alternativa a tutti quei contazzi: i vettori appartenenti al piano \(\pi\) cercato si scrivono come combinazioni lineari dei vettori \[v=A-B=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad w= A-C = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Quindi si vuole di fatto che \[\begin{vmatrix} x & -1 & -2 \\ y & 2 & 0 \\ z & 0 & 2 \end{vmatrix} = 0\]equazione che restituisce \(2x+y+2z=0\). Imponendo poi il passaggio per \(A\) si ottiene \(\pi: 2x+y+2z=7\).
Quindi si vuole di fatto che \[\begin{vmatrix} x & -1 & -2 \\ y & 2 & 0 \\ z & 0 & 2 \end{vmatrix} = 0\]equazione che restituisce \(2x+y+2z=0\). Imponendo poi il passaggio per \(A\) si ottiene \(\pi: 2x+y+2z=7\).
Delirium spiegagli il perché funziona Quello è il prodotto vettoriale che ti darebbe un vettore ortogonale ai due generati, Delirium ha risistemato il tutto in modo da generare lo stesso vettore in coordinate pluckeriane che restituirà il piano
Quello è il prodotto vettoriale che ti darebbe un vettore ortogonale ai due generati, Delirium ha risistemato il tutto in modo da generare lo stesso vettore in coordinate pluckeriane che restituirà il piano
eh ma così
stai facendo il determinante della matrice? chiedo solo. Perchè io alle matrici non ci sono ancora arrivato, il corso è stato fatto al primo semestre ed ho sentito parlare di determinante di matrice, ma Algebra Lineare e Geometria la sto studiando adesso..
"Delirium":
Quindi si vuole di fatto che \[\begin{vmatrix} x & -1 & -2 \\ y & 2 & 0 \\ z & 0 & 2 \end{vmatrix} = 0\]
stai facendo il determinante della matrice? chiedo solo. Perchè io alle matrici non ci sono ancora arrivato, il corso è stato fatto al primo semestre ed ho sentito parlare di determinante di matrice, ma Algebra Lineare e Geometria la sto studiando adesso..
@Maci86: Invero credo sia sufficiente dire che
Il determinante della matrice più sopra è in grado di "rilevare" le dipendenze lineari tra le colonne. Avendo già due colonne lin. indipendenti, la terza, se si impone \(\text{det}=0\), non sarà che una combinazione lineare delle altre due. Tirare in ballo le coordinate plückeriane mi sembra eccessivo in questo contesto, soprattutto se c'è una spiegazione più "elementare".
@21zuclo: Sì, con quella notazione indico il determinante della matrice. Ad ogni modo se la mia soluzione ti risulta oscura causa nozioni che ancora non possiedi, lascia perdere.
"Delirium":
[...]
i vettori appartenenti al piano \(\pi\) cercato si scrivono come combinazioni lineari dei vettori \[v=A-B=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad w= A-C = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \] [...]
Il determinante della matrice più sopra è in grado di "rilevare" le dipendenze lineari tra le colonne. Avendo già due colonne lin. indipendenti, la terza, se si impone \(\text{det}=0\), non sarà che una combinazione lineare delle altre due. Tirare in ballo le coordinate plückeriane mi sembra eccessivo in questo contesto, soprattutto se c'è una spiegazione più "elementare".
@21zuclo: Sì, con quella notazione indico il determinante della matrice. Ad ogni modo se la mia soluzione ti risulta oscura causa nozioni che ancora non possiedi, lascia perdere.
Bel modo di vedere la cosa, è che ormai in arsenale ho i lanciamissili e li uso anche per le mosche
Per curiosità, mi potresti spiegare cosa intendi con
? Non sono sicuro di aver capito bene.
"Maci86":
[...] Delirium ha risistemato il tutto in modo da generare lo stesso vettore in coordinate pluckeriane che restituirà il piano
? Non sono sicuro di aver capito bene.
Prendi la matrice per "generare" il prodotto vetoriale e trasponila, ottieni il vettore pluckeriano che rappresenta il piano
Sì, ok. Evito ulteriori specificazioni per non confondere le idee all'utente; tanto sappiamo bene entrambi di cosa si sta parlando, ma ciò non è rilevante ai fini della discussione di questo esercizio
bé vi posso dire che ogni cosa è utile. Se anche mi servirà più avanti . Quindi le cose che avete scritto ora in questo momento non le so, ma mi risulteranno utili più avanti 
. Quindi le cose che avete scritto ora in questo momento non le so, ma mi risulteranno utili più avanti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo