Equazione cartesiana di un piano
Equazione cartesiana di un piano contenente una retta data e parallelo ad un altro PIANO dato?
il piano ha equazione X-Y+Z-2=0 mentre la retta ha equazioni cartesiane 4X-2Y+3Z=1 2X+Z+1=0
Ho provato con i fasci ma mi sono bloccato..
il piano ha equazione X-Y+Z-2=0 mentre la retta ha equazioni cartesiane 4X-2Y+3Z=1 2X+Z+1=0
Ho provato con i fasci ma mi sono bloccato..
Risposte
Posta i tuoi tentativi, come da regolamento; così possiamo aiutarti...
Allora ho trasformato le equazioni della retta da cartesiane a parametriche y=3/2-t z=1-2t x=t Ho considerato un punto generico ponendo ad esempio t=0---->P(3/2;1;0) e Ho imposto il passaggio del piano per questo punto ed il parallelismo con il piano dato , mi viene fuori l'equazione finale X-Y-1/2=0 Non sono sicuro per niente di questo risultato dato che i punti successivi dell'esercizio non riesco a risorverli con questa equazione
Il piano da te trovato non rispetta le condizioni richieste.
Siano infatti $ \alpha : X-Y-\frac{1}{2}=0 $ la tua soluzione e $ r : \{(4X-2Y+3Z=1),(2X+Z+1=0):} $ la retta; allora $ r \cap \alpha \ne r $ (questo lo si vede studiando i ranghi delle matrici associate al sistema lineare che descrive l'intersezione tra $ r $ ed $ \alpha $).
(1) Quando due piani sono paralleli?
(2) Quando un piano contiene una retta?
Siano infatti $ \alpha : X-Y-\frac{1}{2}=0 $ la tua soluzione e $ r : \{(4X-2Y+3Z=1),(2X+Z+1=0):} $ la retta; allora $ r \cap \alpha \ne r $ (questo lo si vede studiando i ranghi delle matrici associate al sistema lineare che descrive l'intersezione tra $ r $ ed $ \alpha $).
(1) Quando due piani sono paralleli?
(2) Quando un piano contiene una retta?
Dati due piani
a1x + b1y + c1z + d1 = 0
a2x + b2y + c2z + d2 = 0
Essi sono paralleli solo se esiste K€R (non nullo) tale che
(a1, b1, c1) = K(a2, b2, c2)
ossia se i parametri a, b, c delle due equazioni sono tra loro proporzionali.
Il mio problema è che non riesco a conciliare la condizione di parallelismo con il fascio di asse r , tano_91 hai un'idea per lo svolgimento?
a1x + b1y + c1z + d1 = 0
a2x + b2y + c2z + d2 = 0
Essi sono paralleli solo se esiste K€R (non nullo) tale che
(a1, b1, c1) = K(a2, b2, c2)
ossia se i parametri a, b, c delle due equazioni sono tra loro proporzionali.
Il mio problema è che non riesco a conciliare la condizione di parallelismo con il fascio di asse r , tano_91 hai un'idea per lo svolgimento?
Scrivi l'equazione del fascio di piani di asse $ r $.
$alpha*(4X-2Y+3Z-1)+beta*( 2X+Z+1)=0$ che condizione impongo ora?
Bene.
Ora devi imporre la condizione di parallelismo al piano $ \beta : X-Y+Z-2=0 $.
Per applicare tale condizione, basta riscrivere l'equazione del fascio $ \Phi $ in un'altra maniera (non credo che ti dispiaccia rinunciare a descrivere il piano $ \gamma : 2X+Z+1=0 $, dato che non è parallelo a $ \beta $, pertanto possiamo tranquillamente utilizzare un solo parametro $ \lambda \in \mathbb{R} $):
$ \Phi \setminus \{\gamma \} : 4X-2Y+3Z-1+ \lambda (2X+Z+1)=0 $
Svolgendo i calcoli, si ottiene
$ \Phi \setminus \{ \gamma \} : 2(2+\lambda)X-2Y+(3+\lambda)Z+\lambda-1=0 $
Ora?
Ora devi imporre la condizione di parallelismo al piano $ \beta : X-Y+Z-2=0 $.
Per applicare tale condizione, basta riscrivere l'equazione del fascio $ \Phi $ in un'altra maniera (non credo che ti dispiaccia rinunciare a descrivere il piano $ \gamma : 2X+Z+1=0 $, dato che non è parallelo a $ \beta $, pertanto possiamo tranquillamente utilizzare un solo parametro $ \lambda \in \mathbb{R} $):
$ \Phi \setminus \{\gamma \} : 4X-2Y+3Z-1+ \lambda (2X+Z+1)=0 $
Svolgendo i calcoli, si ottiene
$ \Phi \setminus \{ \gamma \} : 2(2+\lambda)X-2Y+(3+\lambda)Z+\lambda-1=0 $
Ora?
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