Endomorfismo su una funzione polinomiale
Ciao a tutti, è già da qualche giorno che pensavo di aver capito qualcosa riguardo a gli endomorfismi, ma ecco un nuovo caso di cui ignoravo l'esistenza e (ahimè) ignoro il metodo di risoluzione 
; mi affido dunque a voi esperti algebristi 
"Dato lo spazio vettoriale V delle funzioni polinomiali reali di grado $<=2$ , l'applicazione lineare
$T:V->V$
$f->(f'+f'')$
rispetto alla base ordinaria $(1,x,x^2)$ scrivere la matrice che rappresenta tale applicazione lineare"
Se qualcuno è in grado di spiegarmi il procedimento giusto gliene sarei grato
grazie a tutti
P.S.
Mi son sempre trovato di fronte ad applicazioni con vettori (che so magari in $RR^3$) e spazi vettoriali V.
E non riesco ad estendere le mie conoscenze al caso di funzioni polinomiali.
Nell'attesa continuo a provare! Ciao!
; mi affido dunque a voi esperti algebristi "Dato lo spazio vettoriale V delle funzioni polinomiali reali di grado $<=2$ , l'applicazione lineare
$T:V->V$
$f->(f'+f'')$
rispetto alla base ordinaria $(1,x,x^2)$ scrivere la matrice che rappresenta tale applicazione lineare"
Se qualcuno è in grado di spiegarmi il procedimento giusto gliene sarei grato
grazie a tutti
P.S.
Mi son sempre trovato di fronte ad applicazioni con vettori (che so magari in $RR^3$) e spazi vettoriali V.
E non riesco ad estendere le mie conoscenze al caso di funzioni polinomiali.
Nell'attesa continuo a provare! Ciao!
Risposte
ma guarda che lo spazio dei polinomi fino al 2° grado ed $RR^3$ non sono tanto diversi eh... L'unica cosa in più dei polinomi è la moltiplicazione, ma quella riguarda la struttura di anello che qui non devi considerare. Per risolvere l'esercizio, scrivi innanzitutto l'immagine dei vettori della base, quindi esprimila in coordinate sulla base stessa.
Ciao, grazie anzitutto. Sul fatto che lo spazio dei polinomi fino al 2° grado ed ℝ3 hai ragione, però il mio problema è che alle volte son proprio cieco e se non riesco a vederlo non riesco a risolvere l'esercizio più banale :/
"Per risolvere l'esercizio, scrivi innanzitutto l'immagine dei vettori della base quindi esprimila in coordinate sulla base stessa"
ci provo:
l'immagine dei vettori della base è data da $T(1,x,x^2)= (0,1,2x+2) = 0+x*x+(2x+2)x^2$
ma non so se è giusto... anzi mi sembra di scrivere cavolate... prima di scrivere altre eventuali fesserie meglio fermarsi e magari aspettare una tua risposta.
cmq grazie
"Per risolvere l'esercizio, scrivi innanzitutto l'immagine dei vettori della base quindi esprimila in coordinate sulla base stessa"
ci provo:
l'immagine dei vettori della base è data da $T(1,x,x^2)= (0,1,2x+2) = 0+x*x+(2x+2)x^2$
ma non so se è giusto... anzi mi sembra di scrivere cavolate... prima di scrivere altre eventuali fesserie meglio fermarsi e magari aspettare una tua risposta.
cmq grazie
Aggiungo una domandina 
Considerato l'endomorfismo oggetto dell'esercizio trovare il kernel dell'applicazione e commentare il risultato trovato.
Considerato l'endomorfismo oggetto dell'esercizio trovare il kernel dell'applicazione e commentare il risultato trovato.
Ciao grazie!! è stato molto chiaro! penso di aver capito molto più di quanto prima avevo afferrato ed ora tutto ha una sua logica!!
quando ho "costruito il polinomio" ho frainteso ciò che mi suggeriva dissonance dicendomi di "esprimila in coordinate sulla base stessa".
dunque T(f) ha base $( (a_1+2a_2) , (a_2), 0 )$ ma sempre riferita alla base (1,x,x^2) ?
Avevo qualche difficoltà a capire come si costruiva la matrice perchè solitamente mi trovo di fronte alla base canonica di vettori $((vece_1),(vece_2),vece_3) = (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$
da cui ottengo le tre immagini dei vettori della base $f(vece_i)$ (con i =1,2,3) e con le quali costruisco facilmente la matrice associata.
Quindi in sostanza io controllo quali coordinate della base canonica mi esprimono le coordinate della base di T(f)
Dunque la prima colonna ha tutti zeri perchè la coordinata $a_0$ (della base canonica) non compare in nessuna delle coordiate della base di t; Quindi penso di aver capito che nella prima colonna ci vanno i coefficenti (che ho trovato in T(f)) della prima coordinata della base canonica, incolonnati rispettivamente alla posizione che trovano nella base di T(f) e così via...
Oppure è possibile vederlo per righe?? mi spiego dato che
$T(f)=(0*a_0 + a_1 + 2a_2) +2a_2 x + 0*x^2$
associare alla prima riga i coefficenti delle $a_i$ (i=0,1,2) "costanti" o meglio rispetto alla prima componente della base $(1,x,x^2)$ che in questo caso è 1; la seconda riga rispettivamente alle $a_i$ che hanno la componente x (e lo stesso per la terza riga relativamente a $x^2$)
Io non sono un matematico (anche se una mezza idea di diventarlo ce l'avevo) e da queste mie affermazioni lo si sarà capito
Però alle volte non riesco a vedere e capire cosa sto facendo e mi perdo
ammiro voi che queste cose non solo le capite ma ve le pappate in un attimo
Grazie a tutti! e se qualcuno vuole può darmi la sua opinione e i suoi consigli!
Luca
quando ho "costruito il polinomio" ho frainteso ciò che mi suggeriva dissonance dicendomi di "esprimila in coordinate sulla base stessa".
dunque T(f) ha base $( (a_1+2a_2) , (a_2), 0 )$ ma sempre riferita alla base (1,x,x^2) ?
Avevo qualche difficoltà a capire come si costruiva la matrice perchè solitamente mi trovo di fronte alla base canonica di vettori $((vece_1),(vece_2),vece_3) = (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$
da cui ottengo le tre immagini dei vettori della base $f(vece_i)$ (con i =1,2,3) e con le quali costruisco facilmente la matrice associata.
Quindi in sostanza io controllo quali coordinate della base canonica mi esprimono le coordinate della base di T(f)
Dunque la prima colonna ha tutti zeri perchè la coordinata $a_0$ (della base canonica) non compare in nessuna delle coordiate della base di t; Quindi penso di aver capito che nella prima colonna ci vanno i coefficenti (che ho trovato in T(f)) della prima coordinata della base canonica, incolonnati rispettivamente alla posizione che trovano nella base di T(f) e così via...
Oppure è possibile vederlo per righe?? mi spiego dato che
$T(f)=(0*a_0 + a_1 + 2a_2) +2a_2 x + 0*x^2$
associare alla prima riga i coefficenti delle $a_i$ (i=0,1,2) "costanti" o meglio rispetto alla prima componente della base $(1,x,x^2)$ che in questo caso è 1; la seconda riga rispettivamente alle $a_i$ che hanno la componente x (e lo stesso per la terza riga relativamente a $x^2$)
Io non sono un matematico (anche se una mezza idea di diventarlo ce l'avevo) e da queste mie affermazioni lo si sarà capito
Però alle volte non riesco a vedere e capire cosa sto facendo e mi perdo
ammiro voi che queste cose non solo le capite ma ve le pappate in un attimo
Grazie a tutti! e se qualcuno vuole può darmi la sua opinione e i suoi consigli!
Luca
Ciao Camillo:)
trovare il Kernel significa calcolarne l'autospazio?
così mi cimento (un po' di esercizio non può farmi male)
trovare il Kernel significa calcolarne l'autospazio?
così mi cimento (un po' di esercizio non può farmi male
)
"ebol":
Ciao a tutti, è già da qualche giorno che pensavo di aver capito qualcosa riguardo a gli endomorfismi, ma ecco un nuovo caso di cui ignoravo l'esistenza e (ahimè) ignoro il metodo di risoluzione
"Dato lo spazio vettoriale V delle funzioni polinomiali reali di grado $<=2$ , l'applicazione lineare
$T:V->V$
$f->(f'+f'')$
rispetto alla base ordinaria $(1,x,x^2)$ scrivere la matrice che rappresenta tale applicazione lineare"
Se qualcuno è in grado di spiegarmi il procedimento giusto gliene sarei grato
grazie a tutti
P.S.
Mi son sempre trovato di fronte ad applicazioni con vettori (che so magari in $RR^3$) e spazi vettoriali V.
E non riesco ad estendere le mie conoscenze al caso di funzioni polinomiali.
Nell'attesa continuo a provare! Ciao!
Ti hanno già risposto, cmq ti dico solo che puoi estendere la cosa per esempio anche allo spazio di matrici $R^(2,2)$ in cui la matrice della tua applicazione lineare fra questi due spazi di matrici sarà una bella matrice $4x4$ (e non $2x2$!!!). Il procedimento è lo stesso sia con polinomi che con vettori (di $RR^n).
"ebol":
trovare il Kernel significa calcolarne l'autospazio?
ciao! attenzione a non confonderti con tutti questi aggeggi dell'algebra lineare: kernel è l'insieme dei vettori che annullano la tua trasformazione lineare. In effetti è un autospazio.
La definizione :Kernel è la controimmagine del vettore nullo dello spazio "di arrivo"
Ok questo endomorfismo me lo son sognato pure stanotte... quindi ho avuto modo di rifletterci!
vediamo se ricapitolando ho capito qualcosa:
la base dello spazio V è $(1,x,x^2)$
f(x) è una funzione polinomiale di secondo grado, dunque lavoro col generico polinomio di 2° grado $f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2$; f(x) posso dunque esprimerlo attraverso le coordinate
[proprio come quando ho a che fare con uno spazio vettoriale dove anzichè avere gli n vettori della base canonica $vece_i$ , con le rispttive coordinate (ad esempio per il vettore i-esimo $(0,0,0...,1,0...,0)$ ) ho $(1,x,x^2)$)]
e dunque posso scrivere $f(x)=(a_0,a_1,a_2)$.
Il calcolo dell'immagine di f, T(f) , può avvenire in diversi modi l'importante è seguire la "legge" (in questo caso $f->f'+f''$) con cui T trasforma le coordinate di f. Poichè f(x) dipende dalla base $(1,x,x^2)$) e dalle coordinate $(a_0,a_1,a_2)$, l'applicazione T avrà, come coordinate, combinazioni (?lineari?) di $(a_0,a_1,a_2)$ rispetto alla stessa base.
praticamente
$T((a_0,a_1,a_2))=(a_1+2a_2 , 2a_2 , 0)$. questo mette in risalto ciò che fà T, ovvero agisce sulle coordinate di f(x)
Ora la matrice associata sarà
$A=((0,1,2),(0,0,2),(0,0,0))$
per costruirla mi ero fatto anceh un'altra idea: "le tre colonne si riferiscono ordinatamente ad $a_0,a_1,a_2$, mentre le righe al grado della base."
comunque in generale la matrice A è formata dai vettori colonna (tutt'al più riga), "vettori immagine", che generano Im T
Concludendo, se ho capito bene, quando associo una matrice ad un'applicazione lineare sto scrivendo in forma matriciale (mmm come possiamo dire...) la "legge" con cui T trasforma le coordinate di un generico polinomio (o vettore) da uno spazio all'altro sempre nella stessa base.
Se cambio la base cambierà anche la mia matrice.
Grazie a tutti voi per la disponibilità e per la pazienza
Se ho capito qualcosa lo devo a voi!
Luca
vediamo se ricapitolando ho capito qualcosa:
la base dello spazio V è $(1,x,x^2)$
f(x) è una funzione polinomiale di secondo grado, dunque lavoro col generico polinomio di 2° grado $f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2$; f(x) posso dunque esprimerlo attraverso le coordinate
[proprio come quando ho a che fare con uno spazio vettoriale dove anzichè avere gli n vettori della base canonica $vece_i$ , con le rispttive coordinate (ad esempio per il vettore i-esimo $(0,0,0...,1,0...,0)$ ) ho $(1,x,x^2)$)]
e dunque posso scrivere $f(x)=(a_0,a_1,a_2)$.
Il calcolo dell'immagine di f, T(f) , può avvenire in diversi modi l'importante è seguire la "legge" (in questo caso $f->f'+f''$) con cui T trasforma le coordinate di f. Poichè f(x) dipende dalla base $(1,x,x^2)$) e dalle coordinate $(a_0,a_1,a_2)$, l'applicazione T avrà, come coordinate, combinazioni (?lineari?) di $(a_0,a_1,a_2)$ rispetto alla stessa base.
praticamente
$T((a_0,a_1,a_2))=(a_1+2a_2 , 2a_2 , 0)$. questo mette in risalto ciò che fà T, ovvero agisce sulle coordinate di f(x)
Ora la matrice associata sarà
$A=((0,1,2),(0,0,2),(0,0,0))$
per costruirla mi ero fatto anceh un'altra idea: "le tre colonne si riferiscono ordinatamente ad $a_0,a_1,a_2$, mentre le righe al grado della base."
comunque in generale la matrice A è formata dai vettori colonna (tutt'al più riga), "vettori immagine", che generano Im T
Concludendo, se ho capito bene, quando associo una matrice ad un'applicazione lineare sto scrivendo in forma matriciale (mmm come possiamo dire...) la "legge" con cui T trasforma le coordinate di un generico polinomio (o vettore) da uno spazio all'altro sempre nella stessa base.
Se cambio la base cambierà anche la mia matrice.
Grazie a tutti voi per la disponibilità e per la pazienza
Se ho capito qualcosa lo devo a voi!
Luca
Per il quesito di Camillo invece cosa posso dire....
Il Kernel di un'applicazione lineare $f:V->W$ è un sottoinsieme di V che ha come immagine il vettore nullo di W.
Trovo il polinomio caratteristico per calcolare gli autovalori $\lambda$;
la matrice è triangolare, il determinante è il prodotto dei coefficenti che si trovano sulla diagonale, ovvero $-(\lambda)^3$ da cui ricavo $\lambda=0$.
ricavo l'autovettore della forma $(\beta,0,0)$ e la base generica del Ker è $(1,0,0)$ (sarà giusto?)
anzitutto non so nemmeno se ho risposto al quesito
, in caso affermativo come posso commentare il risultato? in caso negativo avrò fatto un'altro esercizio? :O Oppure manca qualcosa?
Ciao Luca
Il Kernel di un'applicazione lineare $f:V->W$ è un sottoinsieme di V che ha come immagine il vettore nullo di W.
Trovo il polinomio caratteristico per calcolare gli autovalori $\lambda$;
la matrice è triangolare, il determinante è il prodotto dei coefficenti che si trovano sulla diagonale, ovvero $-(\lambda)^3$ da cui ricavo $\lambda=0$.
ricavo l'autovettore della forma $(\beta,0,0)$ e la base generica del Ker è $(1,0,0)$ (sarà giusto?
)commentare il risultato trovato
anzitutto non so nemmeno se ho risposto al quesito
, in caso affermativo come posso commentare il risultato? in caso negativo avrò fatto un'altro esercizio? :O Oppure manca qualcosa?Ciao Luca
"ebol":ciao, mi intrometto per un consiglio:
Per il quesito di Camillo invece cosa posso dire....
Il Kernel di un'applicazione lineare $f:V->W$ è un sottoinsieme di V che ha come immagine il vettore nullo di W.
Trovo il polinomio caratteristico per calcolare gli autovalori $\lambda$;
Il procedimento che hai seguito è corretto, ma stai ricavando molte più informazioni di quante te ne servano. Lascia perdere autovalori e polinomio caratteristico, quando non ti servono. Personalmente penso che il concetto di kernel sia ad un livello più basilare rispetto a quello di autospazio (spazio di autovettori). In altre parole:
non è il kernel ad essere un autospazio, ma tra tutti gli autospazi ce n'è uno più importante degli altri: il kernel. Spero di essere stato chiaro! in caso contrario puoi tranquillamente trascurare quello che ho detto (che comunque è solo la mia opinione).
Ok!
Per Sergio:
mi son stampato sia i suggerimenti che mi hai dato sia l'esercizio e le tue spiegazioni del link ce mi hai fornito... ci sto lavorando su non ho ancora finito di leggere tutto, poi (magari pensando di aver capito tutto) cerco di rispondere (con un'alta probabilità di dire una o più fesserie ledendo alla tua pazienza
) dunque work in progress!
Per Camillo (e per Sergio):
tutto chiaro: tra gli autospazi quello più importante è il kernel.
quindi se mi si chiede il kernel operativamente cosa devo fare?
Cioè io ho perso tempo con polinomio caratteristico e autovalori; dunque, per quello che mi suggerite, ciò può significare almeno due cose:
1°) non c'è bisogno di calcolare gli autovalori, dunque basterà risolvere il sistema omogeneo associato alla matrice A per trovare il Kernel
(cioè data la definizione "Il Kernel di un'applicazione lineare $f:V->W$ è un sottoinsieme di V che ha come immagine il vettore nullo di W" e dato che f (riferito alla definizione altrimenti sarebbe T per il nostro esercizio) è espressa matricialmente da A, sono indotto a pensare ce basti risolvere il sistema omogeneo $((0,1,2),(0,0,2),(0,0,0))((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $)
2°)C'è qualche altra strada per calcolare il Kernel
Grazie per le vostre risposte!
Per Sergio:
mi son stampato sia i suggerimenti che mi hai dato sia l'esercizio e le tue spiegazioni del link ce mi hai fornito... ci sto lavorando su non ho ancora finito di leggere tutto, poi (magari pensando di aver capito tutto) cerco di rispondere (con un'alta probabilità di dire una o più fesserie ledendo alla tua pazienza
) dunque work in progress!Per Camillo (e per Sergio):
tutto chiaro: tra gli autospazi quello più importante è il kernel.
quindi se mi si chiede il kernel operativamente cosa devo fare?
Cioè io ho perso tempo con polinomio caratteristico e autovalori; dunque, per quello che mi suggerite, ciò può significare almeno due cose:
1°) non c'è bisogno di calcolare gli autovalori, dunque basterà risolvere il sistema omogeneo associato alla matrice A per trovare il Kernel
(cioè data la definizione "Il Kernel di un'applicazione lineare $f:V->W$ è un sottoinsieme di V che ha come immagine il vettore nullo di W" e dato che f (riferito alla definizione altrimenti sarebbe T per il nostro esercizio) è espressa matricialmente da A, sono indotto a pensare ce basti risolvere il sistema omogeneo $((0,1,2),(0,0,2),(0,0,0))((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $)
2°)C'è qualche altra strada per calcolare il Kernel
Grazie per le vostre risposte!
Grazie ,
come al solito ho bisogno del mio tempo (parecchio) per arrivarci :O
(penso sempre che: col tempo si scopre che la soluzione è sempre stata sotto i miei occhi... ma con una buona guida ci si arriva prima... senza che la guida prenda il mio posto
)
e in questo caso la soluzione era già data dalla definizione di "nucleo"
la soluzione dovrebbe essere
$z=0 => y=0$
giusto?
(A ha rango 2, l'ultima equaz. è $0=0$ la seconda $z=0$ e la prima $y+2z=0$)
...in trepida attesa...
, come al solito ho bisogno del mio tempo (parecchio) per arrivarci :O
(penso sempre che: col tempo si scopre che la soluzione è sempre stata sotto i miei occhi... ma con una buona guida ci si arriva prima... senza che la guida prenda il mio posto
)e in questo caso la soluzione era già data dalla definizione di "nucleo"
la soluzione dovrebbe essere
$z=0 => y=0$
giusto?
(A ha rango 2, l'ultima equaz. è $0=0$ la seconda $z=0$ e la prima $y+2z=0$)
...in trepida attesa...
"ebol":
Grazie
la soluzione dovrebbe essere
$z=0 => y=0$
giusto?
(A ha rango 2, l'ultima equaz. è $0=0$ la seconda $z=0$ e la prima $y+2z=0$)
...in trepida attesa...
quello che hai scritto è giusto, ma la soluzione? riesci a scrivere esplicitamente il kernel? Puoi scriverlo in vari modi: in forma parametrica, ad esempio, oppure esplicitando una sua base (è esattamente la stessa cosa). prova!
a me viene in mente questo ora:
$\{(x=t),(y= 0),(z= 0):}$
oppure $(t,0,0)$
.... per esplicitare intendi trovarne una particolare tipo:
$\{(x=1),(y= 0),(z= 0):}$
o
$(1,0,0)$
$\{(x=t),(y= 0),(z= 0):}$
oppure $(t,0,0)$
.... per esplicitare intendi trovarne una particolare tipo:
$\{(x=1),(y= 0),(z= 0):}$
o
$(1,0,0)$
esatto intendevo questo. quindi il kernel è formato dai punti di coordinate ${(t,0,0)|t\inRR}$ ovvero lo spazio generato da $(1,0,0)$. giusto per scrivere in modo più elegante Penso che l'esercizio come lo intendeva Camillo non sia finito qua però.
Penso che l'esercizio come lo intendeva Camillo non sia finito qua però.
aspettiamo il suo intervento per scoprire cosa manca!
Esatto, Sergio per commento alla soluzione intendevo proprio che il kernel è rappresentato dai polinomi di grado $0$.
"Sergio":
Il kernel è lo spazio vettoriale generato da un polinomio le cui coordinate rispetto alla base canonica siano $(1,0,0)$ o suoi multipli.
Qualsiasi polinomio del kernel è del tipo $a_0*1+a_1*0+a_2*0=a_0$.
Ok tutto ovvio! siamo nello spazio delle funzioni polinomiali o anche dei polinomi, di grado 2, e il kernel (spazio vettoriale) è generato da un polinomio la cui coordinate rispetto alla base canonica sono $(1,0,0)$ è dunque immediato vedere che gli elementi del kernel sono solo polinomi di grado 0
"Sergio":
Infatti, se un polinomio è di grado $2$ si ha:
$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2, T(f(x))=a_1+2a_2+2a_2x !=0$ (a meno che $a_1=a_2=0$).
Se un polinomio è di grado $1$ si ha:
$f(x)=a_0+a_1x, T(f(x))=f'(x)+f''(x)=a_1+0=a_1!=0$ (a meno che $a_1=0$).
Se il polinomio è di grado $0$:
$f(x)=a_0, T(f(x))=f'(x)+f''(x)=0+0=0$ (per qualsiasi valore di $a_0$).
Quì in sostanza mi stai dicendo (ad esempio per il polinomio di grado 2) che, data la definizione di T ($f->f'+f''$), l'immagine è diversa da zero a meno che $a_1$ e $a_2$ non siano entrambi nulli. ecc.
Mi permetto un azzardo! mi spiego (riferendomi a questo caso coi polinomi):
se l'immagine è nulla per qualsiasi polinomio di grado 0, (ossia per ogni valore di $a_0$) questo mi fa da "campanello d'allarme (o di segnalazione)" per quanto concerne la (lasciatemi passare il prossimo termine) "natura" del kernel??!!
ovvero, sono proprio questi polinomi di grado zero a compormi di sicuro il kernel, e questo lo noto perchè la stessa immagine ad annullarsi per essi?! (forse non sto scrivendo fesserie... mentre le scrivo sto capendo... o forse vedendo le stesse cose di prima sotto un altra luce).
chissà...
Per le carote e le patate dovrebbe essere tutto chiaro a parte il mio linguaggio un po' impreciso. ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
comunque oltre allo scritto che sto preparando per geometria ed algebra lineare ci sarà anche l'orale (sulla parte teorica) e sicuramente troverò qualcosa che avrò capito male o che esprimerò male... insomma tornerò a stressarvi con la mia sana ignoranza
cmq se già da stasera/domani non capisco qualcosa, proverò a postare i miei dubbi su questa discussione (o al max ne aprirò un'altra)
comunque oltre allo scritto che sto preparando per geometria ed algebra lineare ci sarà anche l'orale (sulla parte teorica) e sicuramente troverò qualcosa che avrò capito male o che esprimerò male... insomma tornerò a stressarvi con la mia sana ignoranza
cmq se già da stasera/domani non capisco qualcosa, proverò a postare i miei dubbi su questa discussione (o al max ne aprirò un'altra)
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