Endomorfismo su una funzione polinomiale

[ebol]

Ciao a tutti, è già da qualche giorno che pensavo di aver capito qualcosa riguardo a gli endomorfismi, ma ecco un nuovo caso di cui ignoravo l'esistenza e (ahimè) ignoro il metodo di risoluzione ; mi affido dunque a voi esperti algebristi
"Dato lo spazio vettoriale V delle funzioni polinomiali reali di grado $<=2$ , l'applicazione lineare
$T:V->V$
$f->(f'+f'')$
rispetto alla base ordinaria $(1,x,x^2)$ scrivere la matrice che rappresenta tale applicazione lineare"
Se qualcuno è in grado di spiegarmi il procedimento giusto gliene sarei grato
grazie a tutti

P.S.
Mi son sempre trovato di fronte ad applicazioni con vettori (che so magari in $RR^3$) e spazi vettoriali V.
E non riesco ad estendere le mie conoscenze al caso di funzioni polinomiali.
Nell'attesa continuo a provare! Ciao!

[ebol]

Ciao!
provo a spiegare il mio azzardo (o campanello d'allarme); io ho fatto un passaggio mentale di questo tipo:
sia $f:V->W$ l'applicazione lineare;
posso tradurre matematicamente la definizione del kernel in questa maniera:
Ker f =$\{(vecv in V , f(vecv)= vec0_W):}$

quindi ho pensato "tò! quando prendo i vettori della base, e ne calcolo le immagini, trovo che le coordinate delle immagini sono tutte nulle quando considero T(1)! stai a vedere che il nucleo è dato per un qualsiasi polinomio di grado 0?!"
cioè optevo accorgermene da quello?
o mi è andata bene perchè in questo caso la base è la stessa sia per V dominio e V codominio....
Una cosa che mi sta lasciando felicemente perplesso (posso capire qualcosa che ignoravo!) invece l'ho da quando ho letto, dal link che mi hai dato, che

"Sergio":
Quando definisci un'applicazione tra spazi vettoriali, diciamo $L:V to W$, hai bisogno delle coordinate dei vettori di $V$ che poi vengono trasformate in coordinate dei vettori di $W$. Non lavori mai sulle componenti dei vettori: quando pensi di farlo, in realtà non fai altro che usare le basi canoniche.

e poco prima hai fatto l'esempio

"Sergio":
Esempio banale: immagina di avere a che fare con un normale spazio tridimensionale. Il punto $(1,1,1)$ rispetto ai normali assi $x,y,z$ ha coordinate $(1,1,1)$; tuttavia, se inverti la direzione dell'asse $z$ in modo da misurare le quote al contrario (diciamo come "profondità" invece che come "altezze"), le coordinate del punto $(1,1,1)$ diventano $(1,1,-1)$. Hai semplicemente sostituito la base canonica ${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ con un'altra base: ${(1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1)}$.

Ciò significa che io ogni volta che guardo le componenti di un vettore non sto guardando le coordinate! cioè, se ho capito, son due cose diverse (?)
la differenza sostanziale mi sfugge...
"ok" mi son detto "se cambio la base è ovvio ce cambino anche le coordinate del vettore... ma allora con il termine "componenti" cosa sto intendendo?" .
Forse per troppo tempo ho sentito usare i due termini indistintamente (magari mi trovo sempre di fronte a casi speciali)? o sono io che li ho interpretati così?
se puoi darmi un'illuminazione su componente $!=$ coordinata te ne sarei grato
Ciao! a presto

[rella909]

Scusate ma se la matrice ha dimensione 3 come fa la base ad essere composta da un solo vettore?

[dissonance]

"ebol":
se puoi darmi un'illuminazione su componente $!=$ coordinata te ne sarei grato

intervengo perché questa cosa ha dato filo da torcere anche a me - evidentemente capita spesso che non venga spiegata come si deve.
Come la intendo io: componente non è un termine strettamente appartenente all'algebra lineare. Parliamo di componente quando abbiamo a che fare con una $n$-upla: quindi la terza componente di $(\text{patate},\text{carote},\text{cipolle})$ è $\text{cipolle}$. Le coordinate, invece, si riferiscono agli spazi vettoriali (o anche affini, o proiettivi, ma questa è un'altra storia): se $V$ è un $K$-spazio vettoriale, che supponiamo di dimensione finita $n$, allora possiamo trovare insiemi $b={b_1, ldots, b_n}$ (basi) t.c. ogni vettore $v$ si scrive in modo unico come $\lambda_1b_1+\ldots+\lambda_nb_n$. La $(\lambda_1,ldots,\lambda_n)$ è la $n$-upla di coordinate di $v$ rispetto alla base $b$.
La confusione nasce quando consideriamo vettori di spazi $K^n$, come $RR^n$: i vettori sono delle $n$-uple, e quindi possiamo parlare di componenti senza specificare una base. In questo caso, le coordinate dei vettori rispetto alla base canonica vengono a coincidere con i vettori stessi, ma da un punto di vista concettuale, sono due cose diverse. Credo che Sergio intendesse dire questo, naturalmente ho scritto la mia maniera di vedere le cose (e non escludo che possa essere totalmente sballata! )

[dissonance]

"rella909":Scusate ma se la matrice ha dimensione 3 come fa la base ad essere composta da un solo vettore?

non capisco cosa ti suoni strano: la matrice ha rango 2, dimensione 3x3 quindi la dimensione del suo ker è 3-2=1. mi pare che fili liscio, no?

[rella909]

"dissonance":

non capisco cosa ti suoni strano: la matrice ha rango 2, dimensione 3x3 quindi la dimensione del suo ker è 3-2=1. mi pare che fili liscio, no?

Si scusa avevo letto di fretta. Qualcuno sa rispondere al mio topic su galois?

[Chevtchenko]

"Sergio":[quote="Camillo"]Esatto, Sergio per commento alla soluzione intendevo proprio che il kernel è rappresentato dai polinomi di grado $0$.

Bene!
E ora a ebol: tutto chiaro?
Punto fondamentale: non confondere gli elementi di uno spazio vettoriale (detti in generale vettori, ma possono essere polinomi, matrici, funzioni continue e differenziabili, ecc. ecc.) e lo loro coordinate rispetto ad una base ($n$-uple di numeri).
Ovvero, come diceva il mio prof., non confondere carote (vettori) e patate ($n$-uple di coordinate).[/quote]
Scusate se intervengo in questa interessante discussione, ma se rimaniamo nell'ambito dell'algebra lineare, come si fa a non confondere quelle due cose? Io, per esempio, non riesco a distinguere lo spazio di cui si sta parlando da $RR^3$.

[ebol]

Ciao a tutti!
mi sono assentato dalla discussione perchè avevo vari esami (tra i quali anche questo di algebra lineare e geometria). Oggi ho avuto un po' di tempo e sono andato a cercare in un mio libro (lezioni di geometria e algebra lineare -Vaccaro, Piccolella, Carfagna- Zanichelli), il lessico che utilizza. Dopo aver enunciao la definizione di base di uno spazio vettoriale, e aver dato il teorema affinchè $n$ vettori vi uno spazio V costituiscano una base (cioè che si esprimano nella forma $vecv=a_1vecv_1+a_2vec_2+...+a_nvecv_n$) e dopo averne dato la dimostrazione dice:
<>
Ok quì parla di spazi vettoriali, e per questi non fa distinzione tra coordinate e componenti.
ma in effetti si può parlare di una differenza tra componenti e coordinate se ampliamo il discorso a polinomi o ad altri tipi di spazi?
A presto

[dissonance]

no, guarda...è vero che prima hai considerato uno spazio di polinomi, ma era sottointeso spazio vettoriale di polinomi. Semplicemente è un problema di notazioni. Io (e mi pare di capire anche Sergio) intendo le componenti e le coordinate come due cose diverse (come ho spiegato qualche post fa), perché questo aiuta ad eliminare la confusione che si crea quando si considerano spazi vettoriali numerici, cioè di tipo $K^n$, dove $K$ è il campo di riferimento. Invece il tuo libro non si sofferma su questa distinzione.

[ebol]

Dunque vediamo se capisco
le coordinate di un vettore di uno spazio come $RR^3$, rispetto alla base canonica, coincidono con le terne ordinate di numeri reali che definiscono il vettore stesso.
Quindi se cambio la base cambiano le coordinate (giusto no?!) ma queste non coincidono più con le terne ordinate che lo definiscono (le componenti?)
spero di non aver scritto idiozie; nel caso, perchè io lo capisca meglio c'è un esempio o un esercizio che mi sbatta in faccia questa differenza? io studio Fisica ma c'è tutta una parte di fisica teorica che si basa su spazi di Hilbert, teoria dei gruppi, ecc... (next exam) dove l'algebra e la notazione si complicano; quindi capire magari questo (che magari è banale) significa magari evitare delle imprecisioni e magari capir prima certe cose.
Grazie cmq delle risposte! (non finirò mai di ringraziarvi abbastanza
)