Endomorfismo semplice
Ciao a tutti avrei bisogno di una mano con l'\(\displaystyle n \)-esimo facile esercizio:
Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R}^{2,2}\rightarrow \mathbb{R}^{2,2} \) l'endomorfismo definito da \(\displaystyle f(A)=A-A^t \). Trovare gli autovalori e gli autovettori di \(\displaystyle f \); \(\displaystyle f \) è un endomorfismo semplice?
Volevo chiedervi cosa si intende per endomorfismo semplice... Non trovo nelle dispense del prof questa dicitura.
Ad ogni modo ho provato a svolgere l'esercizio, come al solito con tutta la mia lentezza hahahaha. Se qualcuno ha metodi più veloci e brillanti sarei molto contento di apprenderli.
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \ \ \ A - A^t = \begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}\)
Ora per trovare gli autovalori di \(\displaystyle f \) credo che mi serva trovare la matrice associata all'endomorfismo (in questo caso utilizzare le basi canoniche credo che sia la scelta migliore, mi sbaglio?)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} \)
Così facendo non ho già ottenuto due autovettori di \(\displaystyle f \)? Chiamati \(\displaystyle \mathcal{B} = \{(\mathbf{e_1})(\mathbf{e_2})(\mathbf{e_3})(\mathbf{e_4})\} \), noto che \(\displaystyle f(\mathbf{e_1})=\mathbf{e_1} \), quindi \(\displaystyle \mathbf{e_1} \) è autovettore di autovalore \(\displaystyle 1 \). Stessa cosa per \(\displaystyle \mathbf{e_4} \).
Proseguendo per trovare la matrice associata all'applicazione rispetto alla base canonica ottengo:
\(\displaystyle M_f = \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\)
Da cui vedo che gli autovalori sono \(\displaystyle \lambda_1=1 \ ,\ \lambda_2=0\) (entrambi aventi molteplicità algebrica pari a due? Giusto?)
Avendo già trovato \(\displaystyle \mathbf{e_1} \) ed \(\displaystyle \mathbf{e_4} \) autovettori di \(\displaystyle f \), entrambi di autovalore \(\displaystyle 1 \); mancano da trovare quelli di autovalore nullo.
I vettori per cui \(\displaystyle f(\mathbf{v})=0 \) insomma? Sarebbero i generatori \(\displaystyle \mathbf{e_2} \) ed \(\displaystyle \mathbf{e_3} \)?
Ora mi sorge spontanea una domanda... Qualsiasi multiplo di un autovettore è esso stesso un autovettore, è esatto? (Credo che altrimenti non si potrebbe parlare di autospazio) Ma quindi la scelta degli autovettori è arbitraria?
Ad esempio sempre in questo caso:
\(\displaystyle E_{\lambda_2} = \mathrm{Ker}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} = \mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\right\}\)
Sarebbe l'autospazio associato all'autovalore nullo. Questo costituisce l'insieme di tutti gli autovettori di autovalore nullo giusto?
Perdonate la mia confusione, è soltanto il secondo giorno di auto-oggetti hahahaha.
La domanda che mi attanaglia di più è proprio: La scelta degli autovettori è arbitraria o no?
Grazie a tutti dell'attenzione. Spero possiate chiarire questo mio dubbio.
P.S. linciatemi se ho detto delle stupidaggini e perdonatemi per aver scritto così tanto!
Cordialmente Cristian
Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R}^{2,2}\rightarrow \mathbb{R}^{2,2} \) l'endomorfismo definito da \(\displaystyle f(A)=A-A^t \). Trovare gli autovalori e gli autovettori di \(\displaystyle f \); \(\displaystyle f \) è un endomorfismo semplice?
Volevo chiedervi cosa si intende per endomorfismo semplice... Non trovo nelle dispense del prof questa dicitura.
Ad ogni modo ho provato a svolgere l'esercizio, come al solito con tutta la mia lentezza hahahaha. Se qualcuno ha metodi più veloci e brillanti sarei molto contento di apprenderli.
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \ \ \ A - A^t = \begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}\)
Ora per trovare gli autovalori di \(\displaystyle f \) credo che mi serva trovare la matrice associata all'endomorfismo (in questo caso utilizzare le basi canoniche credo che sia la scelta migliore, mi sbaglio?)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} \)
\(\displaystyle f \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} \)
Così facendo non ho già ottenuto due autovettori di \(\displaystyle f \)? Chiamati \(\displaystyle \mathcal{B} = \{(\mathbf{e_1})(\mathbf{e_2})(\mathbf{e_3})(\mathbf{e_4})\} \), noto che \(\displaystyle f(\mathbf{e_1})=\mathbf{e_1} \), quindi \(\displaystyle \mathbf{e_1} \) è autovettore di autovalore \(\displaystyle 1 \). Stessa cosa per \(\displaystyle \mathbf{e_4} \).
Proseguendo per trovare la matrice associata all'applicazione rispetto alla base canonica ottengo:
\(\displaystyle M_f = \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\)
Da cui vedo che gli autovalori sono \(\displaystyle \lambda_1=1 \ ,\ \lambda_2=0\) (entrambi aventi molteplicità algebrica pari a due? Giusto?)
Avendo già trovato \(\displaystyle \mathbf{e_1} \) ed \(\displaystyle \mathbf{e_4} \) autovettori di \(\displaystyle f \), entrambi di autovalore \(\displaystyle 1 \); mancano da trovare quelli di autovalore nullo.
I vettori per cui \(\displaystyle f(\mathbf{v})=0 \) insomma? Sarebbero i generatori \(\displaystyle \mathbf{e_2} \) ed \(\displaystyle \mathbf{e_3} \)?
Ora mi sorge spontanea una domanda... Qualsiasi multiplo di un autovettore è esso stesso un autovettore, è esatto? (Credo che altrimenti non si potrebbe parlare di autospazio) Ma quindi la scelta degli autovettori è arbitraria?
Ad esempio sempre in questo caso:
\(\displaystyle E_{\lambda_2} = \mathrm{Ker}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} = \mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\right\}\)
Sarebbe l'autospazio associato all'autovalore nullo. Questo costituisce l'insieme di tutti gli autovettori di autovalore nullo giusto?
Perdonate la mia confusione, è soltanto il secondo giorno di auto-oggetti hahahaha.
La domanda che mi attanaglia di più è proprio: La scelta degli autovettori è arbitraria o no?
Grazie a tutti dell'attenzione. Spero possiate chiarire questo mio dubbio.
P.S. linciatemi se ho detto delle stupidaggini e perdonatemi per aver scritto così tanto!
Cordialmente Cristian
Risposte
Veramente:
e in generale:
Quindi, a rigore, rispetto alla base naturale:
Tuttavia, essendo piuttosto evidente che:
1. Il sottospazio delle matrici simmetriche (dimensione 3) è l'autospazio corrispondente all'autovalore 0:
2. Il sottospazio delle matrici antisimmetriche (dimensione 1) è l'autospazio corrispondente all'autovalore 2:
è possibile concludere più sinteticamente.
P.S.
Un endomorfismo semplice è un endomorfismo diagonalizzabile. Inoltre, poiché la somma delle molteplicità geometriche dei due autovalori è 4:
l'endomorfismo in esame è diagonalizzabile.
$f[[1,0],[0,0]]=[[1,0],[0,0]]-[[1,0],[0,0]]=[[0,0],[0,0]]$
$f[[0,1],[0,0]]=[[0,1],[0,0]]-[[0,0],[1,0]]=[[0,1],[-1,0]]$
$f[[0,0],[1,0]]=[[0,0],[1,0]]-[[0,1],[0,0]]=[[0,-1],[1,0]]$
$f[[0,0],[0,1]]=[[0,0],[0,1]]-[[0,0],[0,1]]=[[0,0],[0,0]]$
e in generale:
$f[[a,b],[c,d]]=[[a,b],[c,d]]-[[a,c],[b,d]]=[[0,b-c],[-b+c,0]]$
Quindi, a rigore, rispetto alla base naturale:
$M_f=[[0,0,0,0],[0,1,-1,0],[0,-1,1,0],[0,0,0,0]]$
Tuttavia, essendo piuttosto evidente che:
1. Il sottospazio delle matrici simmetriche (dimensione 3) è l'autospazio corrispondente all'autovalore 0:
$[A=A^t] rarr [f(A)=0]$
2. Il sottospazio delle matrici antisimmetriche (dimensione 1) è l'autospazio corrispondente all'autovalore 2:
$[A=-A^t] rarr [f(A)=2A]$
è possibile concludere più sinteticamente.
P.S.
Un endomorfismo semplice è un endomorfismo diagonalizzabile. Inoltre, poiché la somma delle molteplicità geometriche dei due autovalori è 4:
$3+1=4$
l'endomorfismo in esame è diagonalizzabile.
Ok, ho fatto un disastro hahahahah, grazie tante della spiegazione… Ricomincio da capo
"LogicalCake":
Qualsiasi multiplo di un autovettore è esso stesso un autovettore, è esatto?
Esatto.
"LogicalCake":
Ma quindi la scelta degli autovettori è arbitraria?
In che senso arbitraria? Se il testo chiede gli autovettori, devi assegnarli tutti. Se, invece, il testo chiede di diagonalizzare l'endomorfismo mediante una matrice di cambiamento di base costituita da soli autovettori, la scelta è arbitraria.
"anonymous_0b37e9":
[quote="LogicalCake"]
Qualsiasi multiplo di un autovettore è esso stesso un autovettore, è esatto?
Esatto.
"LogicalCake":
Ma quindi la scelta degli autovettori è arbitraria?
In che senso arbitraria? Se il testo chiede gli autovettori, devi assegnarli tutti. Se, invece, il testo chiede di diagonalizzare l'endomorfismo mediante una matrice di cambiamento di base costituita da soli autovettori, la scelta è arbitraria.[/quote]
Perfetto ora è chiaro, in sostanza per determinare tutti gli autovettori devo determinare gli autospazi relativi a tutti gli autovalori. Grazie tante dell'aiuto... Che casino che avevo fatto...
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