Endomorfismo indotto
Salve a tutti.
Ho un piccolo problema con un compito di algebra lineare e quindi scrivo questo topic se finalmente, grazie alle vostre conoscenze, riesco a togliermi questo dubbio che mi attanaglia da qualche giorno.
Il compito è composto di 4 quesiti, che riesci a risolvere in questo modo, se risolvi 1 puoi risolvere il 2 e così via.
Il primo quesito: dopo aver provato che $W={p in R[x]_4 | p(i)=0}$ è un sottospazio di $R[x]_4$ , calcolarne la dimensione ed una base.
Il primo quesito l'ho risolto, devo considerare il polinomio generico dello spazio $R[x]_4$ e sostituire alla $x$ la $i$ e porre $p(i)=0$. In questo modo mi trovo $p(i)=a +bi -c -di + e=0$ e posso dire così che $dimW=5 - 1=4$ dato che $dimR[x]_4=5$ e che ho una sola equazione in 5 incognite.
Provo, attraverso le proprietà dei sottospazi, che $W sube R[x]_4$ e quindi posso costruirmi una base.
Il secondo quesito, quello che mi dà problemi, è: Sia $\zeta: R[x]_4 rarr R[x]_4$ l'endomorfismo la cui matrice associata, rispetto alla base $\xi = (1,x,x^2,x^3,x^4)$, è
$M^(\xi,\xi) (\zeta) = ((1,0,0,0,0),(0,h,h-4,0,0),(0,0,4,0,0),(0,h-1,h-4,1,0),(1,0,2,0,2))$
con $h$ parametro reale. Provare che $\zeta$ induce su $W$ un endomorfismo $\varphi: W rarr W$, per ogni $h in RR$.
So, per definizione, che quando ho un endomorfismo indotto, in questo caso, devo provare che $Im\zeta sube W$.
Non so invece come devo procedere in pratica per sapere che $\zeta$ induce questo benedetto endomorfismo. Come devo fare?
Potete aiutarmi?
Grazie, ciao.
Ho un piccolo problema con un compito di algebra lineare e quindi scrivo questo topic se finalmente, grazie alle vostre conoscenze, riesco a togliermi questo dubbio che mi attanaglia da qualche giorno.
Il compito è composto di 4 quesiti, che riesci a risolvere in questo modo, se risolvi 1 puoi risolvere il 2 e così via.
Il primo quesito: dopo aver provato che $W={p in R[x]_4 | p(i)=0}$ è un sottospazio di $R[x]_4$ , calcolarne la dimensione ed una base.
Il primo quesito l'ho risolto, devo considerare il polinomio generico dello spazio $R[x]_4$ e sostituire alla $x$ la $i$ e porre $p(i)=0$. In questo modo mi trovo $p(i)=a +bi -c -di + e=0$ e posso dire così che $dimW=5 - 1=4$ dato che $dimR[x]_4=5$ e che ho una sola equazione in 5 incognite.
Provo, attraverso le proprietà dei sottospazi, che $W sube R[x]_4$ e quindi posso costruirmi una base.
Il secondo quesito, quello che mi dà problemi, è: Sia $\zeta: R[x]_4 rarr R[x]_4$ l'endomorfismo la cui matrice associata, rispetto alla base $\xi = (1,x,x^2,x^3,x^4)$, è
$M^(\xi,\xi) (\zeta) = ((1,0,0,0,0),(0,h,h-4,0,0),(0,0,4,0,0),(0,h-1,h-4,1,0),(1,0,2,0,2))$
con $h$ parametro reale. Provare che $\zeta$ induce su $W$ un endomorfismo $\varphi: W rarr W$, per ogni $h in RR$.
So, per definizione, che quando ho un endomorfismo indotto, in questo caso, devo provare che $Im\zeta sube W$.
Non so invece come devo procedere in pratica per sapere che $\zeta$ induce questo benedetto endomorfismo. Come devo fare?
Potete aiutarmi?
Grazie, ciao.
Risposte
Si può fare in vari modi. Quello più semplice, secondo me, è sfruttare questo fatterello:
se $F:U\toV$ è una applicazione lineare, $S$ è un sottospazio di $U$ di dimensione finita e $T$ è un sottospazio di $V$, allora per poter dire che $F(S)\subT$ basta verificare che $F(s)\subT$ per tutti gli $s$ in una base di $S$. (Tra l'altro questo discorso funziona anche se non c'è la dimensione finita, mi pare. Ma non ce ne importa niente in questo momento).
Ora basta applicare questo al nostro esercizio. Quello che dobbiamo verificare è che $zeta(W)\subW$: sei d'accordo? Se sì, visto che una base di $W$ già ce l'hai, abbiamo finito.
se $F:U\toV$ è una applicazione lineare, $S$ è un sottospazio di $U$ di dimensione finita e $T$ è un sottospazio di $V$, allora per poter dire che $F(S)\subT$ basta verificare che $F(s)\subT$ per tutti gli $s$ in una base di $S$. (Tra l'altro questo discorso funziona anche se non c'è la dimensione finita, mi pare. Ma non ce ne importa niente in questo momento).
Ora basta applicare questo al nostro esercizio. Quello che dobbiamo verificare è che $zeta(W)\subW$: sei d'accordo? Se sì, visto che una base di $W$ già ce l'hai, abbiamo finito.
Grazie dissonance. Ho capito il tuo procedimento, ma come puoi dire che già abbiamo finito, avendo una base di W?
Ho provato che W è generato dalla base $B=(-i+x,1+x^2,i+x^3,-1+x^4)$ scritta con le componenti, altrimenti così: $B=(-i,1,0,0,0),(1,0,1,0,0),(i,0,0,1,0),(-1,0,0,0,1)$
A quanto ho capito, chiamando $w1,w2,w3,w4$ i vettori che compongono la base di $W$, devo provare che $\zeta(w1) sub W$ e così via per gli altri vettori della base di W.
Quindi per trovare, ad esempio, $\zeta(w1)$, devo trovarmi l'equazione cartesiana che regola l'endomorfismo $\zeta$, giusto? O no?
Ho provato che W è generato dalla base $B=(-i+x,1+x^2,i+x^3,-1+x^4)$ scritta con le componenti, altrimenti così: $B=(-i,1,0,0,0),(1,0,1,0,0),(i,0,0,1,0),(-1,0,0,0,1)$
A quanto ho capito, chiamando $w1,w2,w3,w4$ i vettori che compongono la base di $W$, devo provare che $\zeta(w1) sub W$ e così via per gli altri vettori della base di W.
Quindi per trovare, ad esempio, $\zeta(w1)$, devo trovarmi l'equazione cartesiana che regola l'endomorfismo $\zeta$, giusto? O no?
E non fai prima facendo direttamente il prodotto tra matrici? Cioé:
quanto fa $zeta(-i+x)$? $(-i+x)=-i*1+1*x+0*x^2+0*x^3+0*x^4$. A questo punto facciamo il prodotto di quella matrice di prima col vettore colonna $(-i, 1, 0, 0, 0)$: otteniamo una colonna che rappresenta $zeta(-i+x)$ sulla base ${1, x, x^2, x^3, x^4}$ (quindi sostanzialmente i coefficienti del polinomio $zeta(i+x)$. attenzione che non è sempre così: questo fenomeno è dovuto al fatto che abbiamo scelto proprio quella base per lo spazio dei polinomi). Questo vettore è in $W$? Che è come chiedersi, questo vettore è combinazione lineare di $w_1, ..., w_4$? Può essere che si veda già a occhio, il che ti farà risparmiare qualche conto, altrimenti puoi usare i vari giochetti tipici dell'algebra lineare per verificare queste cose, per esempio:
1) puoi andare di forza bruta: scrivi in una matrice, diciamo $M$, le coordinate di $w_1, ... w_4$ rispetto ad una base e in una colonna (diciamo $b$) le coordinate di $zeta(-i+x)$ rispetto alla stessa base. Poi verifica: il sistema $Mx=b$ ha soluzione? Se sì, allora vuol dire che si trova una combinazione lineare di $w_1...w_4$ che è uguale a $zeta(-i+x)$ e quindi che $zeta(-i+x)$ è in $W$.
2) in alternativa prova a giustapporre il vettore $b$ come sopra alla matrice $M$, così: $[M b]$. Che rango ha questa matrice? Tieni conto che il rango di $M$ è già pari alla dimensione di $W$. Devi verificare se aumenta oppure no. Se non aumenta significa che $b$ dipende linearmente dalle colonne di $M$ e quindi che $zeta(-i+x)$ è in $W$.
e sicuramente ci saranno altri sistemi, magari più veloci.
P.S.: Rileggendo, mi sono accorto che 1) e 2) sono esattamente la stessa cosa: in pratica 2) è il teorema di Rouché-Capelli. Quindi tutta questa zuppa che ho scritto, in sostanza, è aria fritta! non c'è molta sostanza.
quanto fa $zeta(-i+x)$? $(-i+x)=-i*1+1*x+0*x^2+0*x^3+0*x^4$. A questo punto facciamo il prodotto di quella matrice di prima col vettore colonna $(-i, 1, 0, 0, 0)$: otteniamo una colonna che rappresenta $zeta(-i+x)$ sulla base ${1, x, x^2, x^3, x^4}$ (quindi sostanzialmente i coefficienti del polinomio $zeta(i+x)$. attenzione che non è sempre così: questo fenomeno è dovuto al fatto che abbiamo scelto proprio quella base per lo spazio dei polinomi). Questo vettore è in $W$? Che è come chiedersi, questo vettore è combinazione lineare di $w_1, ..., w_4$? Può essere che si veda già a occhio, il che ti farà risparmiare qualche conto, altrimenti puoi usare i vari giochetti tipici dell'algebra lineare per verificare queste cose, per esempio:
1) puoi andare di forza bruta: scrivi in una matrice, diciamo $M$, le coordinate di $w_1, ... w_4$ rispetto ad una base e in una colonna (diciamo $b$) le coordinate di $zeta(-i+x)$ rispetto alla stessa base. Poi verifica: il sistema $Mx=b$ ha soluzione? Se sì, allora vuol dire che si trova una combinazione lineare di $w_1...w_4$ che è uguale a $zeta(-i+x)$ e quindi che $zeta(-i+x)$ è in $W$.
2) in alternativa prova a giustapporre il vettore $b$ come sopra alla matrice $M$, così: $[M b]$. Che rango ha questa matrice? Tieni conto che il rango di $M$ è già pari alla dimensione di $W$. Devi verificare se aumenta oppure no. Se non aumenta significa che $b$ dipende linearmente dalle colonne di $M$ e quindi che $zeta(-i+x)$ è in $W$.
e sicuramente ci saranno altri sistemi, magari più veloci.
P.S.: Rileggendo, mi sono accorto che 1) e 2) sono esattamente la stessa cosa: in pratica 2) è il teorema di Rouché-Capelli. Quindi tutta questa zuppa che ho scritto, in sostanza, è aria fritta! non c'è molta sostanza.
Un sistema alternativo, dovrebbe essere più veloce.
All'inizio ti sei ritrovato con delle equazioni cartesiane di $W$. Queste si portano appresso una condizione di appartenenza a $W$ relativamente comoda.
Supponiamo che le equazioni, rispetto ad una base che fissiamo una volta per tutte, siano $Ax=0$. Significa dire: un vettore $v$ è in $W$ se e solo se le sue coordinate verificano quel sistema di equazioni. Ora consideriamo la matrice associata a $zeta$, chiamiamola $M$, e le coordinate dei vettori $w_1, ...,w_4$ che chiamiamo $y_1, ...,y_4$. La condizione
($zeta(w_i)\inW$) è equivalente a $(My_i$ verifica il sistema $Ax=0$) e perciò a ($AMy_i=0$).
Conclusione: basta fare il prodotto $AM$ e verificare se $AMy_1, ...,AMy_4$ sono uguali a zero.
Così effettuiamo un prodotto (matrice x matrice) e quattro (matrice x vettore), invece con i metodi di prima era necessario calcolare quattro prodotti (matrice x vettore) e poi per lo meno quattro determinanti.
All'inizio ti sei ritrovato con delle equazioni cartesiane di $W$. Queste si portano appresso una condizione di appartenenza a $W$ relativamente comoda.
Supponiamo che le equazioni, rispetto ad una base che fissiamo una volta per tutte, siano $Ax=0$. Significa dire: un vettore $v$ è in $W$ se e solo se le sue coordinate verificano quel sistema di equazioni. Ora consideriamo la matrice associata a $zeta$, chiamiamola $M$, e le coordinate dei vettori $w_1, ...,w_4$ che chiamiamo $y_1, ...,y_4$. La condizione
($zeta(w_i)\inW$) è equivalente a $(My_i$ verifica il sistema $Ax=0$) e perciò a ($AMy_i=0$).
Conclusione: basta fare il prodotto $AM$ e verificare se $AMy_1, ...,AMy_4$ sono uguali a zero.
Così effettuiamo un prodotto (matrice x matrice) e quattro (matrice x vettore), invece con i metodi di prima era necessario calcolare quattro prodotti (matrice x vettore) e poi per lo meno quattro determinanti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo