Endomorfismo e spazio di polinomi
Sia n>=1 un numero naturale e sia V=R[X] <=n lo spazio dei polinomi reali di grado al più n nell'indeterminata x. Sia poi F:V->V l'endomorfismo dato da:
(F(p))(x)=(p(x)+p(-x))/2
Scrivere la matrice associata ad F rispetto alla base B={1,x,x^2,...,x^n} nel dominio e nel codominio e calcolare gli autovalori di F e le loro molteplicità in funzione di n. Stabilire inoltre se l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Infine dimostrare che F°F=F.
Salve a tutti, avrei un problema con questo esercizio di una simulazione di esame di Geometria 1, ho calcolato la matrice associata rispetto alla base nel seguente modo:
F(1)=0
F(x)=0
F(x^2)=x^2
...
F(x^n)=0 se n è dispari, 1 se x^n se n è pari
Da qui deduco che gli autovalori 1 e 0 avranno molteplicità algebriche diverse a seconda che n sia pari o dispari. Il problema è che non so come continuare per calcolare gli autospazi relativi e stabilire se F è diagonalizzabile. Grazie in anticipo per la risposta.
(F(p))(x)=(p(x)+p(-x))/2
Scrivere la matrice associata ad F rispetto alla base B={1,x,x^2,...,x^n} nel dominio e nel codominio e calcolare gli autovalori di F e le loro molteplicità in funzione di n. Stabilire inoltre se l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Infine dimostrare che F°F=F.
Salve a tutti, avrei un problema con questo esercizio di una simulazione di esame di Geometria 1, ho calcolato la matrice associata rispetto alla base nel seguente modo:
F(1)=0
F(x)=0
F(x^2)=x^2
...
F(x^n)=0 se n è dispari, 1 se x^n se n è pari
Da qui deduco che gli autovalori 1 e 0 avranno molteplicità algebriche diverse a seconda che n sia pari o dispari. Il problema è che non so come continuare per calcolare gli autospazi relativi e stabilire se F è diagonalizzabile. Grazie in anticipo per la risposta.
Risposte
"Mathstudent05":
$F(1)=0$
$F(x)=0$
$F(x^2)=1$
$...$
Veramente, se il polinomio $p(x)$ è una funzione pari:
$F[p(x)]=p(x)$
Viceversa, se il polinomio $p(x)$ è una funzione dispari:
$F[p(x)]=0$
Sempre che, con la scrittura errata di cui sopra, tu non intendessi indicare gli autovalori. Ma allora, avresti almeno dovuto scrivere $F[1]=1$ e $F[x^2]=x^2$.
Si scusami ho sbagliato a scrivere intendevo dire F[1]=0 ,F[x]=0,F[x^2]=x^2, ..., F[x^n]=x^n se n è pari
Il problema è che dopo che costruisco la matrice associata all'endomorfismo non so come continuare
Il problema è che dopo che costruisco la matrice associata all'endomorfismo non so come continuare
Non devi fare molto per concludere. Poiché l'endomorfismo, rispetto alla base naturale indicata, è già diagonale:
Lascio a te dimostrare che $F°F=F$.
$AA n gt= 1$ dispari$ rarr $molteplicità algebrica$(0)=(n+1)/2 ^^ $molteplicità algebrica$(1)=(n+1)/2$
$AA n gt= 1$ pari$ rarr $molteplicità algebrica$(0)=n/2 ^^ $molteplicità algebrica$(1)=(n+2)/2$
Lascio a te dimostrare che $F°F=F$.
Mi sembra che le cose non tornino...
Non dovrebbe essere per n>=1 dispari molteplicità algebrica(0)=(n+3)/2 e molteplicità algebrica(1)=(n-1)/2
Mentre per n>=1 pari molteplicità algebrica(1)= n/2 e molteplicità algebrica (0) =(n+2)/2
Non dovrebbe essere per n>=1 dispari molteplicità algebrica(0)=(n+3)/2 e molteplicità algebrica(1)=(n-1)/2
Mentre per n>=1 pari molteplicità algebrica(1)= n/2 e molteplicità algebrica (0) =(n+2)/2
Se $n$ è dispari, le due molteplicità algebriche sono uguali. Meglio se ricontrolli.
Purtroppo le due molteplicità non mi risultano uguali.
Se considero per esempio n=5 avrò
F[1]=0
F[x]=0
F[x^2]=x^2
F[x^3]=0
F[x^4]=x^4
F[x^5]=0
ma(0)= 4 e ma(1)=2
Se considero per esempio n=5 avrò
F[1]=0
F[x]=0
F[x^2]=x^2
F[x^3]=0
F[x^4]=x^4
F[x^5]=0
ma(0)= 4 e ma(1)=2
Peccato che, come ti ho già fatto osservare, $F[1]=1$. Pur avendo notato che continuavi a sbagliare, pensavo a una svista.
Si hai ragione grazie mille
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