Endomorfismo e matrice associata
Salve a tutti...ho il seguente endomorfismo di $ RR_2 [X]:f(a+bX+cX^2)=aX^2+bX+c $. E' giusto associare la seguente matrice $ ( ( c , 0 , 0 ),( 0 , b , 0 ),( 0 ,0 , a ) ) $ al seguente endomorfismo?
Risposte
Dipende dalla base che hai scelto.
La base scelta è quella canonica...
Se la base scelta è la base canonica di $ \mathbb{R}\[x\]_2 $ (cioè la base $ C = (1,X,X^2) $), abbiamo:
$ M_C(f) = (([f(1)]_C, [f(X)]_C, [f(X^2)]_C)) = (([X^2]_C, [X]_C, [1]_C)) = ((0,0,1), (0,1,0), (1,0,0)) $
Infatti, se $ \mathbf{x} = ((\alpha), (\beta), (\gamma)) $ sono le componenti di un vettore del dominio di $ f $, possiamo scrivere il generico vettore $ \mathbf{y} $ dell'immagine di $ f $ nel seguente modo:
$ \mathbf{y} = M_C(f) \mathbf{x} = ((0,0,1), (0,1,0), (1,0,0))((\alpha), (\beta), (\gamma)) = ((\gamma), (\beta), (\alpha)) $
cioè
$ f(\alpha+\beta X+\gamma X^2) = \gamma+\beta X+\alpha X^2 $
come specificato dall'esercizio.
$ M_C(f) = (([f(1)]_C, [f(X)]_C, [f(X^2)]_C)) = (([X^2]_C, [X]_C, [1]_C)) = ((0,0,1), (0,1,0), (1,0,0)) $
Infatti, se $ \mathbf{x} = ((\alpha), (\beta), (\gamma)) $ sono le componenti di un vettore del dominio di $ f $, possiamo scrivere il generico vettore $ \mathbf{y} $ dell'immagine di $ f $ nel seguente modo:
$ \mathbf{y} = M_C(f) \mathbf{x} = ((0,0,1), (0,1,0), (1,0,0))((\alpha), (\beta), (\gamma)) = ((\gamma), (\beta), (\alpha)) $
cioè
$ f(\alpha+\beta X+\gamma X^2) = \gamma+\beta X+\alpha X^2 $
come specificato dall'esercizio.
Alla fine era un semplice esercizio in cui c'era da dimostrare che questo endomorfismo possedeva l'autovalore 1 (quesito a risposta multipla), anche con l'altra matrice veniva, perciò pensavo fosse corretto. Comunque grazie mille per i chiarimenti 
Anche se poi nella prima matrice aveva molteplicità 3 e in quella corretta aveva molteplicità 1.
Anche se poi nella prima matrice aveva molteplicità 3 e in quella corretta aveva molteplicità 1.
Non è detto.
Nulla si può dire sulla molteplicità algebrica di un autovalore dal calcolo di un suo singolo autovettore (trovando l'autospazio associato si trova molteplicità geometrica dell'autovalore).
Per determinare la molteplicità algebrica dell'autovalore $ 1 $ basta calcolare il polinomio caratteristico; ecco cosa si scopre:
$ \det((-\lambda ,0,1),(0,1-\lambda ,0),(1,0,-\lambda )) = (-\lambda)(1-\lambda)(-\lambda)-(1-\lambda) = ... = -(1-\lambda)^2(1+\lambda) $
Nulla si può dire sulla molteplicità algebrica di un autovalore dal calcolo di un suo singolo autovettore (trovando l'autospazio associato si trova molteplicità geometrica dell'autovalore).
Per determinare la molteplicità algebrica dell'autovalore $ 1 $ basta calcolare il polinomio caratteristico; ecco cosa si scopre:
$ \det((-\lambda ,0,1),(0,1-\lambda ,0),(1,0,-\lambda )) = (-\lambda)(1-\lambda)(-\lambda)-(1-\lambda) = ... = -(1-\lambda)^2(1+\lambda) $
Giusto, poi l'ho rifatto ed in effetti è così. Ascolta un'ultima cosa, nel caso invece di questo endomorfismo $ R2[X]:f(a+bX+cX2)=b+cX+cX^2$, la matrice associata rispetto alla base canonica è giusta scritta così $ ( ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 ,1),(0,0,1 ) ) $ ?...se faccio la verifica $ ( ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 ,1),(0,0,1 ) )( ( a ),( b ),( c ) )=b+cX+cX^2 $
Sì è corretta, infatti te lo dice anche la verifica.
Ok grazie mille ancora... 
Nel caso di questa funzione qui $ f(u)=u∧(i−j)⋅k $ con $ f:V_3→RR $ come la scrivo la matrice associata?...non mi è mai capitata una funzione del genere.
Nel caso di questa funzione qui $ f(u)=u∧(i−j)⋅k $ con $ f:V_3→RR $ come la scrivo la matrice associata?...non mi è mai capitata una funzione del genere.
L'esercizio ti dice rispetto a quali basi calcolarla?
Sempre rispetto alla base canonica...
Innanzitutto scrivi le dimensioni che ti aspetti da questa matrice.
Avevo pensato di scrivere il vettore $ u $ come $ (x,y,z) $ e di svolgere il prodotto misto...però non so se possa essere corretto...svolgendo i calcoli però ottengo $ (0,0,0) $
Scusa ma ho sbagliato a calcolare il prodotto misto...allora se dovessi considerare i tre vettori $(i-j)=(1,-1,0)$, $k=(0,0,1)$, $u=(x,y,z)$ quelle che ottengo dal prodotto misto è $-x-y=0$...
Non hai risposto alla mia domanda: che dimensioni deve avere la matrice associata a questa applicazione?
Deve essere una matrice 3x3...
No. Guarda com'è fatta $ f $.
No aspetta però l'applicazione è da $V_3 $ in $RR$...quindi non sarebbe corretto associare come immagine una matrice 3x3...quindi dovrebbe essere un solo vettore
Vettore riga o vettore colonna?
Un vettore colonna se non sbaglio...
Invece è un vettore riga, dato che l'immagine di $ f $ ha dimensione $ 1 $.
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