Endomorfismo e matrice associata

[CarR1]

Salve a tutti...ho il seguente endomorfismo di $ RR_2 [X]:f(a+bX+cX^2)=aX^2+bX+c $. E' giusto associare la seguente matrice $ ( ( c , 0 , 0 ),( 0 , b , 0 ),( 0 ,0 , a ) ) $ al seguente endomorfismo?

[CarR1]

Ah capito, come lo scrivo il vettore riga associato a questa funzione?

[Riccardo Desimini]

Se i vettori $ \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} $ sono i vettori della base canonica $ E $ di $ V_3 $ (questo dipende dalle notazioni adottate da chi ha scritto l'esercizio), basta applicare la definizione di matrice associata ad un'applicazione lineare (sia $ B $ la base canonica di $ \mathbb{R} $):

$ M_{E,B}(f) = (([f(\mathbf{i})]_B, [f(\mathbf{j})]_B, [f(\mathbf{k})]_B)) $

[CarR1]

Se invece ad $ i,j,k $ associasse i vettori $ i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) $, basterebbe poi calcolare le immagini rispetto a quei vettori, svolgendo il prodotto misto, ottenendo quindi un vettore $ (-1,1,0) $. Giusto?

[Riccardo Desimini]

Il caso da te descritto è lo stesso di cui stavo parlando.

Calcoliamo la matrice associata ad $ f $ rispetto alle basi canoniche $ E = \{ \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \} $ di $ V_3 $ e $ B = {1} $ di $ \mathbb{R} $:

$ M_{E,B}(f) = (([f(\mathbf{i})]_B, [f(\mathbf{j})]_B, [f(\mathbf{k})]_B)) $

Calcoliamo le immagini dei vettori di $ E $ (denoto con $ <,> $ il prodotto scalare standard):

$ f(\mathbf{i}) = <\mathbf{i} \wedge (\mathbf{i} - \mathbf{j}), \mathbf{k}> = <-\mathbf{k}, \mathbf{k}> = −1 $
$ f(\mathbf{j}) = <\mathbf{j} \wedge (\mathbf{i} - \mathbf{j}), \mathbf{k}> = <-\mathbf{k}, \mathbf{k}> = −1 $
$ f(\mathbf{k}) = <\mathbf{k} \wedge (\mathbf{i} - \mathbf{j}), \mathbf{k}> = 0 $

Dunque $ M_{E,B}(f) = ((-1,-1,0)) $.

(Ti lascio da verificare che effettivamente $ f(x,y,z) = -(x+y) $)