Endomorfismo

[asder83]

Esiste un endomorfismo $f$ di $R^3$ tale che $f(1,0,0)=(2,0,1)$ e $f(-1,0,0)=(2,1,-1)$ ?
Se si, scrivere un esempio.
Se no, dire perchè

[Sk_Anonymous]

Bene.

Saluti.

[asder83]

affinchè esista l'endomorfismo, le due uguaglianze devono essere per forza uguali?
esempio. $f(x)=y$
l'endomorfismo esiste solo se $x=y$?
nell'esercizio non esiste l'endomorfismo perchè $f(0,0,0)!=(0,0,0)$

[Sk_Anonymous]

"chry11":affinchè esista l'endomorfismo, le due uguaglianze devono essere per forza uguali?
esempio. $ f(x)=y $
l'endomorfismo esiste solo se $ x=y $?
nell'esercizio non esiste l'endomorfismo perchè $ f(0,0,0)!=(0,0,0) $

No.

In questo caso si è sfruttato il fatto che il nucleo di un'applicazione lineare contiene sempre il vettore nullo, fatto che non si verifica nell'esempio trattato.

Saluti.

[asder83]

se io avessi avuto come somma finale tali uguaglianze:
1) $f(4,1,0)=(4,1,0)$
2) $f(0,0,0)=(0,0,0)$
3) $f(1,2,3)=(2,4,6)$
4) $f(1,3,2)=(4,0,1)$

l'endomorfismo per quale di questi esempi sarebbe esistito?

[Sk_Anonymous]

"chry11":se io avessi avuto come somma finale tali uguaglianze:
1) $f(4,1,0)=(4,1,0)$
2) $f(0,0,0)=(0,0,0)$
3) $f(1,2,3)=(2,4,6)$
4) $f(1,3,2)=(4,0,1)$

l'endomorfismo per quale di questi esempi sarebbe esistito?

Sarebbero potuti esistere tutti, alludendo ad endomorfismi differenti da un esempio all'altro; in particolare, il punto (2) è sempre soddisfatto per tutti gli endomorfismi in $RR^3$.

Saluti.

[asder83]

e come avrei ricavato l'endomorfismo da tali uguaglianze?

[Sk_Anonymous]

Riferendosi agli esempi proposti, gli endomorfismi (differentemente definiti da un esempio all'altro) non sono unici.

1) Un esempio di endomorfismo in cui vale $ f(4,1,0)=(4,1,0) $ è quello identico; in generale basta che la matrice associata sia tale per cui valga

$A_f*((4),(1),(0))=((4),(1),(0))$

quindi basta avere

$A_f=((a,4-4a,b),(c,1-4c,d),(e,-4e,f))$

affinchè valga $ f(4,1,0)=(4,1,0) $

2) Tutti gli endomorfismi in $RR^3$ soddisfano $ f(0,0,0)=(0,0,0) $.

Per i punti 3 e 4 vale un discorso simile a quello trattato nel punto 1.

Saluti.

[asder83]

Ma se avessi dovuto scrivere un endomorfismo, quindi un'applicazione lineare di uno spazio vettoriale in sè stesso, come l'avrei dovuta scrivere per i 4 esempi che ti ho riportato ?

[Sk_Anonymous]

"chry11":Ma se avessi dovuto scrivere un endomorfismo, quindi un'applicazione lineare di uno spazio vettoriale in sè stesso, come l'avrei dovuta scrivere per i 4 esempi che ti ho riportato ?

In sostanza hai già la risposta dal mio ultimo post; nel primo esempio, data la matrice associata

$A_F=((a,4-4a,b),(c,1-4c,d),(e,-4e,f))$

trovi

$F(x,y,z)=(ax+(4-4a)y+bz,cx+(1-4c)y+dz,ex-4ey+fz)$

Saluti.

[asder83]

"alessandro8":
$A_F=((a,4-4a,b),(c,1-4c,d),(e,-4e,f))$

Come hai ricavato questa matrice?

[Sk_Anonymous]

Richiedendo, semplicemente, che

$A_F*((4),(1),(0))=((4),(1),(0))$ con $A_Fin M(3 xx 3;RR)$

visto che deve valere $F(4,1,0)=(4,1,0)$.

Saluti.

[asder83]

"alessandro8":
$A_f=((a,4-4a,b),(c,1-4c,d),(e,-4e,f))$

mi puoi scrivere passaggio per passaggio come hai determinato la seconda colonna?

[Sk_Anonymous]

"chry11":[quote="alessandro8"]
$A_f=((a,4-4a,b),(c,1-4c,d),(e,-4e,f))$

mi puoi scrivere passaggio per passaggio come hai determinato la seconda colonna?[/quote]

Ero partito da una generica matrice

$((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))$

e avevo richiesto

$((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))*((4),(1),(0))=((4),(1),(0)) Rightarrow {(4a+b=4),(4d+e=1),(4g+h=0):} Rightarrow {(b=4-4a),(e=1-4d),(h=-4g):}$

I simboli letterali non corrispondono, ma si trovano espressioni coerenti con quanto avevo scritto.

Saluti.