Endomorfismi autoaggiunti e diagonalizzabilità

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9 giu 2017, 15:46

Buon pomeriggio a tutti!! Stavo svolgendo questo esercizio di geometria
"Sia V uno spazio vettoriale sul campo $RR$, sia $varphi inPS(V)$ un prodotto scalare definito positivo, sia f un endomorfismo di V e $f^*$ il suo aggiunto. Si defisce $g=f*f^(*)+f^(*)*f$.
a)Dimostrare che $Ker g= Ker f nn Ker f^(*)$
b)g è diagonalizzabile?
c) Nel caso in cui $f^(2)=0$, dimostrare che esiste una base ortonormale di $Im f$ di autovettori per g."

Non so come partire

. Stavo pensando a qualche risultato sul teorema spettrale. Penso che in questo esercizio sia utile...

Risposte

Shocker1

11 giu 2017, 14:29

"nick_10":
Allora ero arrivato a questo punto:
$g(w)=varphi(g(w),w)=varphi(g(f(v),f(v))=varphi(ff^(*)f(v)+f^(*)f(f(v),f(v))$ Ora per ipotesi dovrei sapere che $f(f(v))=0$, dunque mi riduco a $g(w)=varphi(ff^(*)(f(v)),f(v))$
Sono vicino o mi sono allontanato troppo?

Secondo me ti stai allontanando, non vedo come tu possa concludere: insomma, $\varphi(f(f^{**}(f(v)), f(v)) = \varphi(f^{**}(f(v)), f^{**}(f(v)))$ che non riesco a vedere a cosa è uguale.

Un'altra via sarebbe proprio capire quanto fa $g(f(v))$

nick_10

11 giu 2017, 14:41

Beh applicando la definizione di g dovrebbe essere $g(f(v))=ff^(*)(f(v))+f^(*)f(f(v))=ff^(*)(f(v))$ dato che per ipotesi $f^2=0$

Shocker1

11 giu 2017, 14:42

Quindi $g(f(v)) \in Im(f)$ e hai dimostrato la $g$ invarianza.

nick_10

11 giu 2017, 14:45

SI esatto. Da qui quindi è in discesa per quello che abbiamo detto poco fa. La restrizione a un sottospazio invariante di un endomorfismo diagonalizzabile è anch'essa diagonalizzabile. Inoltre autoaggiunta perche restrizione di un endomorfismo autoaggiunto. Sono nelle ipotesi del teorema spettrale e la tesi è dimostrata