Eliminazione di Gauss-Jordan
Buongiorno, sto studiando il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan dal Sernesi.
Ora riporto tutto il procedimento che sta scritto sul Sernesi (oh yeah), dove ci sono alcuni punti che quando vengono applicati non mi tornano.
Per chi conosce molto bene il metodo chiaramente non ha bisogno di leggere tutta la pappardella da me scritta.
In sintesi ricordo che il metodo è un procedimento che ci permette di stabilire se un sistema lineare è compatibile oppure no. Nel caso in cui sia compatibile ci permette inoltre di determinare tutte le soluzioni del sistema.
Per il seguito considero
e nomino le seguenti operazioni elementari sul sistema come:
(I) scambiare tra loro due equazioni del sistema;
(II) moltiplicare un'equazione del sistema per uno scalare non nullo;
(III) sostituire un'equazione del sistema con quella ottenuta sommando ad essa un multiplo di un'altra equazione.
Metodo:
Preliminarmente osserviamo se una delle sue equazioni, diciamo la i-esima, ha identicamente nullo il primo membro, cioè $0=b_i$.
In tal caso si possono avere $b_i=0 or b_i ne0$ primo caso possiamo cancellare l'equazione e ottenere un sistema equivalente, nel secondo caso il sistema è incompatibile.
Possiamo pertanto supporre che nessuno dei primi membri sia identicamente nullo.
Possiamo inoltre supporre che sia $a_(i1) ne 0$ per qualche $i=1,...,m$: ciò può essere ottenuto scambiando eventualmente tra loro due delle incognite.
Con un'operazione elementare (I) possiamo ottenere $a_(11) ne 0$, e moltiplicando per $a_(11)^(-1)$ cosicché $a_11=1$.
Sommando alle successive equazioni la prima moltiplicata rispettivamente per $-a_(21), ...,-a_(m1)$,si ottiene il seguente sistema
Se qualcuna delle equazioni del sistema $S'$ è dalla forma $0=0$, possiamo ometterla, invece se compare un'equazione della forma $0=b'_i$ con $b'_i ne 0$ allora il sistema è incompatibile, e pertanto anche il sistema $S$ è incompatibile ed il procedimento si arresta.
Possiamo pertanto supporre che nessuno dei primi membri del sistema $S'$ sia identicamente nullo.
Procediamo sul sistema $S'$ ragionando dalla seconda equazione a scendere giù.
Effettuando eventualmente un cambiamento dell'ordine delle variabili ed operazioni elementari (I) (II) possiamo suppore $a'_(22)=1$.
Sommando alle successive equazioni la prima moltiplicata rispettivamente per $-a'_(32), ...,-a'(m2)$,si ottiene il seguente sistema
Se qualcuna delle equazioni del sistema $S^('')$ è dalla forma $0=0$, possiamo ometterla, invece se compare un'equazione della forma $0=b^('')_i$ con $b^('')_i ne 0$ allora il sistema è incompatibile, e pertanto anche il sistema $S$ è incompatibile ed il procedimento si arresta.
In caso contrario applichiamo di nuovo lo stesso procedimento al sistema $S^('')$ escludendo le prime due equazioni .
Questo procedimento potrà essere iterato fintato che non si arrivi a un sistema incompatibile oppure un sistema a gradini equivalente al sistema $S$. Nel primo caso possiamo concludere che il sistema è incompatibile, secondo caso, possiamo determinare le soluzioni del sistema a gradini, le quali sono anche le soluzioni del sistema $S$ ed il procedimento ha termine.
Il metodo sostanzialmente l'ho capito, però quando viene applicato ci sono dei passaggi che non mi sono molto chiari.
Esempio
Sia
Consideriamo la matrice associata al sistema $S$, cioè
Commento un attimo questi passaggi:
Prima operazione: Scambio di righe tra la prima e la terza, dopodiché è stato moltiplicato per un fattore $0.5$ la prima riga.
Ora lo scopo è di annullare tutti gli elementi presenti nella prima colonna. Poiché l'elemento $a_11=1$ non occorre fare scambi oppure operazioni elementari.
La seconda operazione: sottraggo alla seconda riga la prima moltiplicata per un fattore $2$.
Ora siamo alla terza matrice, la quale ha due righe uguali, esattamente le ultime due. Qui il dubbio.
Premesso che è ovvio che l'ultima riga si annulla essendo uguale alla seconda.
Formalmente l'ultima operazione si dovrebbe vedere nella seguente maniera:
scambio di ordine della terza con la seconda colonna
ora sottraggo alla terza la seconda riga
si ha una riga nulla, pertanto possiamo cancellarla e ottenere
ricordando lo scambio di variabili si ha
Ho fatto tutto questo giro, poiché nella presentazione del metodo viene detto di posizionare l'unità sulla diagonale. Ora vi chiedo è giusta la mia osservazione ?
L'esercizio non è ancora terminato, ci manca un altro pezzettino.
Spero di essere stato chiaro nell'esporre il mio dubbio.
Saluti.
Ora riporto tutto il procedimento che sta scritto sul Sernesi (oh yeah), dove ci sono alcuni punti che quando vengono applicati non mi tornano.
Per chi conosce molto bene il metodo chiaramente non ha bisogno di leggere tutta la pappardella da me scritta.
In sintesi ricordo che il metodo è un procedimento che ci permette di stabilire se un sistema lineare è compatibile oppure no. Nel caso in cui sia compatibile ci permette inoltre di determinare tutte le soluzioni del sistema.
Per il seguito considero
$ S:{ ( a_11X_11+a_12X_12+...+a_(1n)X_(1n)=b_1 ),( a_21X_21+a_22X_22+...+a_(2n)X_(2n)=b_2 ),( .......... ),(.......... ),( a_(m1)X_(m1)+a_(m2)X_(m2)+...+a_(mn)X_(mn)=b_m ):} $
e nomino le seguenti operazioni elementari sul sistema come:
(I) scambiare tra loro due equazioni del sistema;
(II) moltiplicare un'equazione del sistema per uno scalare non nullo;
(III) sostituire un'equazione del sistema con quella ottenuta sommando ad essa un multiplo di un'altra equazione.
Metodo:
Preliminarmente osserviamo se una delle sue equazioni, diciamo la i-esima, ha identicamente nullo il primo membro, cioè $0=b_i$.
In tal caso si possono avere $b_i=0 or b_i ne0$ primo caso possiamo cancellare l'equazione e ottenere un sistema equivalente, nel secondo caso il sistema è incompatibile.
Possiamo pertanto supporre che nessuno dei primi membri sia identicamente nullo.
Possiamo inoltre supporre che sia $a_(i1) ne 0$ per qualche $i=1,...,m$: ciò può essere ottenuto scambiando eventualmente tra loro due delle incognite.
Con un'operazione elementare (I) possiamo ottenere $a_(11) ne 0$, e moltiplicando per $a_(11)^(-1)$ cosicché $a_11=1$.
Sommando alle successive equazioni la prima moltiplicata rispettivamente per $-a_(21), ...,-a_(m1)$,si ottiene il seguente sistema
$ S':{ ( X_11+a'_12X_12+...+a'_(1n)X_(1n)=b'_1 ),( \qquad\qquad\qquada'_22X_22+...+a'_(2n)X_(2n)=b'_2 ),( .......... ),(.......... ),(\qquad\qquad\qquada'_(m2)X_(m2)+...+a'_(mn)X_(mn)=b'_m ):} $
Se qualcuna delle equazioni del sistema $S'$ è dalla forma $0=0$, possiamo ometterla, invece se compare un'equazione della forma $0=b'_i$ con $b'_i ne 0$ allora il sistema è incompatibile, e pertanto anche il sistema $S$ è incompatibile ed il procedimento si arresta.
Possiamo pertanto supporre che nessuno dei primi membri del sistema $S'$ sia identicamente nullo.
Procediamo sul sistema $S'$ ragionando dalla seconda equazione a scendere giù.
Effettuando eventualmente un cambiamento dell'ordine delle variabili ed operazioni elementari (I) (II) possiamo suppore $a'_(22)=1$.
Sommando alle successive equazioni la prima moltiplicata rispettivamente per $-a'_(32), ...,-a'(m2)$,si ottiene il seguente sistema
$ S^(''):{ ( X_11+a'_12X_12+a'_(13)X_(13)...+a'_(1n)X_(1n)=b'_1 ),( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquadX_22+a_(23)^('')X_3+...+a_(2n)^('')X_(2n)=b_2^('') ),( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquada_(33)^('')X_3+...+a_(3n)^('')X_(3n)=b_3^('') ),(.......... ),(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquada_(s3)^('')X_3+...+a_(sn)^('')X_(sn)=b_s^('') ):} $
Se qualcuna delle equazioni del sistema $S^('')$ è dalla forma $0=0$, possiamo ometterla, invece se compare un'equazione della forma $0=b^('')_i$ con $b^('')_i ne 0$ allora il sistema è incompatibile, e pertanto anche il sistema $S$ è incompatibile ed il procedimento si arresta.
In caso contrario applichiamo di nuovo lo stesso procedimento al sistema $S^('')$ escludendo le prime due equazioni .
Questo procedimento potrà essere iterato fintato che non si arrivi a un sistema incompatibile oppure un sistema a gradini equivalente al sistema $S$. Nel primo caso possiamo concludere che il sistema è incompatibile, secondo caso, possiamo determinare le soluzioni del sistema a gradini, le quali sono anche le soluzioni del sistema $S$ ed il procedimento ha termine.
Il metodo sostanzialmente l'ho capito, però quando viene applicato ci sono dei passaggi che non mi sono molto chiari.
Esempio
Sia
$ S:{ ( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquadX_3+2X_4=3 ),( 2X_1+4X_2-2X_3\qquad\qquad\qquad=4 ),(2X_1+4X_2-X_3+2X_4=7 ):} $
Consideriamo la matrice associata al sistema $S$, cioè
$ ( ( 0 , 0 , 1 , 2 , 3 ),( 2, 4 , -2 , 0 , 4 ),( 2 , 4 , -1 , 2 , 7 ) ) to( ( 1 , 2 , -1 , 0 , 2 ),( 2, 4 , -1 , 2 , 7 ),( 0 , 0 , 1 , 2 , 3 ) ) to ( ( 1 , 2 , -1 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , 2 , 3 ),( 0 , 0 , 1 , 2 , 3 ) ) to ( ( 1 , 2 , -1 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , 2 , 3 )) $
Commento un attimo questi passaggi:
Prima operazione: Scambio di righe tra la prima e la terza, dopodiché è stato moltiplicato per un fattore $0.5$ la prima riga.
Ora lo scopo è di annullare tutti gli elementi presenti nella prima colonna. Poiché l'elemento $a_11=1$ non occorre fare scambi oppure operazioni elementari.
La seconda operazione: sottraggo alla seconda riga la prima moltiplicata per un fattore $2$.
Ora siamo alla terza matrice, la quale ha due righe uguali, esattamente le ultime due. Qui il dubbio.
Premesso che è ovvio che l'ultima riga si annulla essendo uguale alla seconda.
Formalmente l'ultima operazione si dovrebbe vedere nella seguente maniera:
scambio di ordine della terza con la seconda colonna
$ ( ( 1 , -1, 2 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 0 , 2 , 3 ),( 0 , 1 , 0 , 2 , 3 ) ) $
ora sottraggo alla terza la seconda riga
$ ( ( 1 , -1 , 2 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 0 , 2 , 3 ), (0,0,0,0,0) ) $
si ha una riga nulla, pertanto possiamo cancellarla e ottenere
$ ( ( 1 , 2 , -1 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 0 , 2 , 3 ) ) $
ricordando lo scambio di variabili si ha
$ ( ( 1 , 2 , -1 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , 2 , 3 ) ) $
Ho fatto tutto questo giro, poiché nella presentazione del metodo viene detto di posizionare l'unità sulla diagonale. Ora vi chiedo è giusta la mia osservazione ?
L'esercizio non è ancora terminato, ci manca un altro pezzettino.
Spero di essere stato chiaro nell'esporre il mio dubbio.
Saluti.
Risposte
@ axpgn grazie per la pazienza che hai.
Per non creare confusione la definizione che hai riportato la riprendo dopo, anche lì c'è qualcosa che non mi è chiaro.
E' rimasto solo un punto, forse due punti da risolvere.
Quindi se il sistema
la variabile $X_4$ è libera quindi, dando $X_4=t in RR$, e procedendo per sostituzione si ha
Infine $(X_1, X_2, X_3, X_4)=(5-2t-2u,u, 3-2t, t)$ è la soluzione generale del sistema.
Va bene come l'ho risolto ?
Per non creare confusione la definizione che hai riportato la riprendo dopo, anche lì c'è qualcosa che non mi è chiaro.
E' rimasto solo un punto, forse due punti da risolvere.
Quindi se il sistema
$ { ( X_1+2X_2-X_3\qquad\qquad\qquad=2 ),(\qquad\qquad\ qquad\ qquad \qquadX_3+2X_4=3 ),( 0=0):} to{ ( X_1+2X_2-X_3\qquad\qquad\qquad=2 ),(\qquad\qquad\ qquad\ qquad \qquadX_3+2X_4=3 ):} $
è gradini, lo posso risolvere così $ { ( X_1+2X_2-X_3\qquad\qquad\qquad=2 ),(\qquad\qquad\ qquad\ qquad \qquadX_3+2X_4=3 ):} to { ( X_1+2X_2-X_3=2 ),(\qquad\qquad\ qquad\ qquad \qquadX_3=3-2X_4 ):} $
la variabile $X_4$ è libera quindi, dando $X_4=t in RR$, e procedendo per sostituzione si ha
$ { ( X_1+2X_2-(3-2t)=2 ),(X_3=3-2t ), (X_4=t):} to{ ( X_1+2X_2=5-2t ),(X_3=3-2t ), (X_4=t):}to{ ( X_1=5-2t-2X_2 ),(X_3=3-2t ), (X_4=t):}, $
allora anche $X_2$ è libera, pertanto dando $X_2=u in RR $si ha infine $ { ( X_1=5-2t-2u ), (X_2=u), (X_3=3-2t ), (X_4=t):} $
Infine $(X_1, X_2, X_3, X_4)=(5-2t-2u,u, 3-2t, t)$ è la soluzione generale del sistema.
Va bene come l'ho risolto ?
Sì.
Ma se avessi seguito le "istruzioni" precedenti, prima di tutto avresti lavorato solo su una matrice, evitando di portarti dietro e riscrivere ogni volta le variabili col rischio di commettere errori, e poi saresti giunto a questa matrice ridotta $((1,2,0,2,|,5),(0,0,1,2,|,3),(0,0,0,0,|,0))$ dove praticamente puoi "leggere" la soluzione direttamente.
Cordialmente, Alex
Ma se avessi seguito le "istruzioni" precedenti, prima di tutto avresti lavorato solo su una matrice, evitando di portarti dietro e riscrivere ogni volta le variabili col rischio di commettere errori, e poi saresti giunto a questa matrice ridotta $((1,2,0,2,|,5),(0,0,1,2,|,3),(0,0,0,0,|,0))$ dove praticamente puoi "leggere" la soluzione direttamente.
Cordialmente, Alex
Bene! Allora per arrivare a questa matrice $ ((1,2,0,2,|,5),(0,0,1,2,|,3),(0,0,0,0,|,0)) $ dovevo prendere in considerazione la 3) ?
Quindi, la 3) ci permette di facilitare ulteriormente i conti ?
Quindi, la 3) ci permette di facilitare ulteriormente i conti ?
Non capisco cosa intendi dire con "la 3" ...
Il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan consiste semplicemente nell'applicare le 3 "mosse di Guass" (quelle che servono ovviamente) al fine di arrivare ad una matrice che rispetti quelle quattro condizioni che ho citato precedentemente.
È tutto lì.
Cordialmente, Alex
Il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan consiste semplicemente nell'applicare le 3 "mosse di Guass" (quelle che servono ovviamente) al fine di arrivare ad una matrice che rispetti quelle quattro condizioni che ho citato precedentemente.
È tutto lì.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan consiste semplicemente nell'applicare le 3 "mosse di Guass" (quelle che servono ovviamente) al fine di arrivare ad una matrice che rispetti quelle quattro condizioni che ho citato precedentemente.
È tutto lì.
Cordialmente, Alex
Cosa intendi per istruzioni ?
In effetti, ho parlato erroneamente di "istruzioni" riferendomi ai quattro punti della "definizione" mentre le "istruzioni" su come arrivare ad una matrice a scalini (a quelle condizioni) sono nel paragrafo dopo 
Adesso le traduco e poi le posto.
Cordialmente, Alex
Adesso le traduco e poi le posto.
Cordialmente, Alex
Come promesso pubblico la traduzione del paragrafo successivo con le "istruzioni".
Prima però una premessa importante: nel capitolo precedente, l'autore ha scritto (e descritto) vari esempi di riduzione a scalini, in modo più semplice e informale, mentre quello che posto ora è un algoritmo, uno pseudo-codice che sembra complicare la cosa più di quello che in realtà è.
L'ideale sarebbe stato che tu avessi potuto leggere questi primi capitoli di questo corso introduttivo perché, a mio parere, spiegano bene come e perché usare questa procedura.
Ecco la traduzione:
"Supponiamo che una matrice $A$ abbia $m$ righe e $n$ colonne.
Descriverò una procedura per convertire la matrice $A$ in una matrice $B$ (dalle stesse dimensioni e ridotta a scalini) attraverso le "mosse di Gauss".
Questa procedura è conosciuta come "Eliminazione di Gauss-Jordan".
Seguire questa procedura sarà più facile se riconoscerete che $i$ si riferisce alla riga che deve essere convertita, $j$ si riferisce alla colonna che si sta convertendo e che $r$ tiene traccia del numero di righe NON nulle.
1) Impostare $j=0$ e $r=0$
2) Incrementare $j$ di $1$. Se ora $j=n+1$ allora fermarsi.
3) Esaminare i termini di $A$ nella colonna $j$ dalla riga $r+1$ fino alla riga $m$
4) Scegliere una riga tra quelle che vanno dalla riga $r+1$ fino alla riga $m$ che abbia un termine NON nullo nella colonna $j$. Denotiamo con $i$ l'indice per questa riga.
5) Incrementare $r$ di $1$
6) Usare la prima mossa di Gauss per scambiare le righe $r$ e $i$
7) Usare la seconda mossa per convertire il termine nella riga $r$ e colonna $j$ a $1$ (e di conseguenza anche gli altri termini della stessa riga)
8) Usare la terza mossa di Gauss con la riga $r$ per convertire ogni altro termine della colonna $j$ a zero.
9) Tornare al passo 2"
Cordialmente, Alex
Prima però una premessa importante: nel capitolo precedente, l'autore ha scritto (e descritto) vari esempi di riduzione a scalini, in modo più semplice e informale, mentre quello che posto ora è un algoritmo, uno pseudo-codice che sembra complicare la cosa più di quello che in realtà è.
L'ideale sarebbe stato che tu avessi potuto leggere questi primi capitoli di questo corso introduttivo perché, a mio parere, spiegano bene come e perché usare questa procedura.
Ecco la traduzione:
"Supponiamo che una matrice $A$ abbia $m$ righe e $n$ colonne.
Descriverò una procedura per convertire la matrice $A$ in una matrice $B$ (dalle stesse dimensioni e ridotta a scalini) attraverso le "mosse di Gauss".
Questa procedura è conosciuta come "Eliminazione di Gauss-Jordan".
Seguire questa procedura sarà più facile se riconoscerete che $i$ si riferisce alla riga che deve essere convertita, $j$ si riferisce alla colonna che si sta convertendo e che $r$ tiene traccia del numero di righe NON nulle.
1) Impostare $j=0$ e $r=0$
2) Incrementare $j$ di $1$. Se ora $j=n+1$ allora fermarsi.
3) Esaminare i termini di $A$ nella colonna $j$ dalla riga $r+1$ fino alla riga $m$
4) Scegliere una riga tra quelle che vanno dalla riga $r+1$ fino alla riga $m$ che abbia un termine NON nullo nella colonna $j$. Denotiamo con $i$ l'indice per questa riga.
5) Incrementare $r$ di $1$
6) Usare la prima mossa di Gauss per scambiare le righe $r$ e $i$
7) Usare la seconda mossa per convertire il termine nella riga $r$ e colonna $j$ a $1$ (e di conseguenza anche gli altri termini della stessa riga)
8) Usare la terza mossa di Gauss con la riga $r$ per convertire ogni altro termine della colonna $j$ a zero.
9) Tornare al passo 2"
Cordialmente, Alex
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