è giusto?

[nomen1]

Ho provato a fare questo esercizio...ma non so se è corretto:

Dimostrare che se i vettori di $R^n$ $v_1,....,v_k$ costituiscono un sistema ortonormale allora essi sono linearmente indipendenti.

Io ho fatto così:
Supponiamo per assurdo che i vettori $v_1,....,v_k$ NON siano linearmente indipendenti.
Quindi abbiamo:

$v_1=a_2v_2+a_3v_3+......+a_kv_k$

Ora faccio il prodotto scalare di ogni membro dell'uguaglianza per $v_1$

$ = <(a_2v_2+a_3v_3+......+a_kv_k),v_1>$

$1=a_2()+....+a_k()$

Quindi, dato che siamo in un sistema ortonormale avremo:

$1=0a_2+....+0a_k$ $ASSURDO!$

[_prime_number]

Sì, mi sembra corretto.

Paola

[Fioravante Patrone1]

L'idea è ok e la procedura idem.

Solo una pignoleria: non puoi assumere dalla lineare dipendenza che $x_1$ sia c.l. degli altri.
L'unica cosa che puoi dedurre è che c'è un $x_k$ che è c.l. degli altri.

Se eri già per i fatti tuoi consapevole di questo, ok (ci si può sempre salvare con SLLG)
Se invece non ti era/è ovvio, ti consiglio di farti un esempio.



SLLG=Senza ledere la generalità

[nomen1]

Grazie Paola e Fioravante............

"Fioravante Patrone":Solo una pignoleria: non puoi assumere dalla lineare dipendenza che $x_1$ sia c.l. degli altri.
L'unica cosa che puoi dedurre è che c'è un $x_k$ che è c.l. degli altri.

Se eri già per i fatti tuoi consapevole di questo, ok (ci si può sempre salvare con SLLG)
Se invece non ti era/è ovvio, ti consiglio di farti un esempio.

sì...ne ero consapevole...grazie per la precisazione