Due versioni del lemma di Urysohn

[dissonance]

Il lemma di Urysohn come lo conosco io (1):

Sia $X$ uno spazio topologico normale, ovvero di Hausdorff e tale che per ogni coppia di chiusi disgiunti $F_1, F_2$ esistono due aperti disgiunti $U_1, U_2$ tali che $F_1\subU_1, F_2\subU_2$.
Allora per ogni coppia di chiusi disgiunti $F_1, F_2$ esiste una funzione continua $f:X\to[0,1]$ tale che $f(F_1)={0}$ e $f(F_2)={1}$.[/list:u:2l4tj4ie]
e come lo presenta Rudin (2):

Sia $X$ uno spazio di Hausdorff localmente compatto. Siano $K, V\subX$ compatto ed aperto rispettivamente, $K\subV$. Allora esiste una funzione continua a supporto compatto $f$ a valori in $[0,1]$ tale che $K- Con questo simbolismo lui intende dire che $f$ vale 1 su tutto $K$ e che il suo supporto è contenuto in $V$, ovvero che $f$ vale 0 sul complementare di $V$.[/list:u:2l4tj4ie]
Che relazioni ci sono tra queste due formulazioni? Sono equivalenti?

[dissonance]

E' tutto più chiaro se riscrivo la formulazione (1) con una equivalente.

Dire che $X$ è uno spazio normale equivale a dire che dato un chiuso $F$ contenuto in un aperto $V$, esiste un aperto $U$ tale che $F\subU\subbar(U)\subV$. (E aggiungo anche che $X$ è di Hausdorff anche se mi pare non sia strettamente necessario).
In questa maniera il lemma di Urysohn diventa: dato uno spazio normale $X$, dati $F, V\subX$ chiuso e aperto rispettivamente, $F\subV$ risulta che:
esiste una funzione $f:X\to[0,1]$ continua, che vale $1$ su tutto $F$ e $0$ su tutto il complementare di $V$. Con il linguaggio di Rudin, potremmo dire che $F-
Quindi la formulazione (2) è essenzialmente questa, dove rimpiazziamo "normale" con "localmente compatto" e "chiuso" con "compatto".

Mi sto facendo l'idea che la formulazione (1) implica la (2). Non so se valga il viceversa ma francamente non mi interessa nemmeno. Invece sapere se $(1)=>(2)$ mi interessa.