Due differenti definizioni di "chiusura" di un sottoinsieme di \(a \), dato \((a,b)\) spazio topologico
Salve a tutti,
mi ritrovo (sempre nel mio perenne studio di topologia di base) con due definizioni differenti di "chiusura" di un sottoinsieme di \(a \), dato \((a,b)\) spazio topologico; la chiusura è l'insieme dei punti di aderenza del sottoinsieme (rispetto allo spazio topologico), e le definizioni che trovo sono in realtà delle proprietà che mi suonano strane (almeno una di queste), in particolare (indicando con \(\mathcal{C}_{(a,b)}(c) \) la chiusura di \(c \), con \(\mathcal{D}_{(a,b)}(c) \) il derivato di \(c \), e con \( \mathcal{I}_{(a,b)}(c)\) l'insieme dei punti isolati di \(c\)) :
Prop. 1: siano dati \((a,b)\) spazio topologico, ed \( c \subseteq a\), allora $$\mathcal{C}_{(a,b)}(c)=\mathcal{D}_{(a,b)}(c) \cup \mathcal{I}_{(a,b)}(c)$$ Prop. 2: siano dati \((a,b)\) spazio topologico, ed \( c \subseteq a\), allora $$\mathcal{C}_{(a,b)}(c)=\mathcal{D}_{(a,b)}(c) \cup c$$ ora arrivati a questo punto non capisco più nulla... quale delle due è corretta? cosa mi sfugge? Ringrazio a priori per qualsiasi delucidazione
P.S.= A me sembra più logica la Prop. 1, e se è così allora che roba è la Prop. 2? In un testo trovo anche la Prop. 2 come definizione di chiusura..
mi ritrovo (sempre nel mio perenne studio di topologia di base) con due definizioni differenti di "chiusura" di un sottoinsieme di \(a \), dato \((a,b)\) spazio topologico; la chiusura è l'insieme dei punti di aderenza del sottoinsieme (rispetto allo spazio topologico), e le definizioni che trovo sono in realtà delle proprietà che mi suonano strane (almeno una di queste), in particolare (indicando con \(\mathcal{C}_{(a,b)}(c) \) la chiusura di \(c \), con \(\mathcal{D}_{(a,b)}(c) \) il derivato di \(c \), e con \( \mathcal{I}_{(a,b)}(c)\) l'insieme dei punti isolati di \(c\)) :
Prop. 1: siano dati \((a,b)\) spazio topologico, ed \( c \subseteq a\), allora $$\mathcal{C}_{(a,b)}(c)=\mathcal{D}_{(a,b)}(c) \cup \mathcal{I}_{(a,b)}(c)$$ Prop. 2: siano dati \((a,b)\) spazio topologico, ed \( c \subseteq a\), allora $$\mathcal{C}_{(a,b)}(c)=\mathcal{D}_{(a,b)}(c) \cup c$$ ora arrivati a questo punto non capisco più nulla... quale delle due è corretta? cosa mi sfugge? Ringrazio a priori per qualsiasi delucidazione
P.S.= A me sembra più logica la Prop. 1, e se è così allora che roba è la Prop. 2? In un testo trovo anche la Prop. 2 come definizione di chiusura..
Risposte
Non ho mai visto una notazione più astrusa e complicata. Comunque, mi pare che le varie definizioni che dai siano equivalenti. (Ci sono ancora altre caratterizzazioni della chiusura.)
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