Dubbio sulla risoluzione di un esercizio.

[ellecomelupo]

Buonasera a tutti,avrei da esporre un piccolo problema.

Stavo eseguendo il seguente esercizio :

Sia $varphi$ il prodotto scalare canonico su R3 e W il sottospazio di R3 di eq.cartesiane

W : x-y =0
z =0 (è un sistema)


i)determinare una base di W ortonormale rispetto a $varphi$

ho pensato che fosse bene procedere prima trovando una base di W e poi utilizzando l'algoritmo di Gram-Shmidt.

Ma la base posso trovarla ponendo x=h
y=h
z=0 ovvero per h= 1 (1,1,0) ?

poi chiede al secondo punto

ii)Una rappresentazione cartesiana del complemento ortogonale di W.

So come trovarla quindi si può passare oltre.

iii)Una base di R3 ortonormale a $varphi$ che contenga un vettore di W .

Qui potrei agire prendendo un vettore di base di W e utilizzando sempre l'algoritmo di G-S?



Ringrazio in anticipo per eventuali risposte.

[orazioster]

sì, una base (dimensione =1) è proprio
data da un vettore non nullo che appartiene a $W$

3)
(procedimento rapido) puoi prendere un vettore qualsiasi
dell'ortogonale a $W$, e poi
fare il prodotto vettoriale.

Hai così tre vettori ortogonali, che poi normalizzerai.

[ellecomelupo]

per i)ma avendo una sola base,come effettuo l'algoritmo?non dovrei avere almeno un'altra base?

iii)oltre al vettore ortogonalizzato di W,quali altri vettori potrei prendere per usare G-S e poi normalizzare?

Scusa se affliggo con queste domande banali e grazie per la risposta.