Dubbio sulla formula per la proiezione ortogonale di un vettore

[Borgoth]

Ciao a tutti,
sto preparando l'esame di Algebra e geometria e sto facendo gli esercizi svolti messi a disposizione sulle dispense.

Mi sono ritrovato davanti questo esercizio:
Sia $T = {(x, y, z) in RR^3 : x+y=0=2y+z}$
Determinare la proiezione ortogonale del vettore u = (1, 0, -1) su T

Per risolverlo ho inizialmente trovato la base di T, che è B=(1, -1, 2) e da qui ho applicato la formula per la proiezione ortogonale che conoscevo (e che è spiegata nelle dispense).
$()b$
con che è il prodotto scalare tra il vettore u dato e il vettore della base
Cioè $(<(1, 0, -1), (1, -1, 2)>)(1, -1, 2)$
Ottengo come risultato $(-1, 1, -2)$

Nella soluzione data invece viene usata la formula
$(()/())b$
Ottenendo ovviamente un risultato diverso e cioè $-1/6(1, -1, 2)$

Sapete dirmi perchè lui usa una formula diversa e perchè la mia sarebbe sbagliata?
Grazie

[feddy]

Ha semplicemente normalizzato il vettore dividendo per la norma di $b$. Ora ha norma unitaria.

[Borgoth]

Si, a me interessava più capirne le motivazioni.
E capire perchè il mio metodo fosse sbagliato.

La motivazione è che la formula corretta è con la divisione per la norma, quindi quello che viene fatto nella risoluzione dell'esercizio è giusto.
Io applicavo l'altra formula (senza la divisione per la norma) perchè nelle dispense quando spiega la formula lo fa con un vettore che ha norma 1 quindi nella formula generale non mette la divisione.

Grazie comunque.